Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Números complexos como matriz

on 18.03.04 14:25, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

Neste caso I e a identidade, certo?
Sim.

Assim sendo, fazendo essa coisa classica, fica algo como
(a+bi)^1999=1999.Podemos tentar escrever na forma trigonometrica, levando alguns fatos em conta...
Que fatos?

Alias,
1)O que e OMMS?
Olimpiada de Matematica de Muricapeba da Serra.

2)Como e que se escreve a forma trigonometrica de uma matriz?
Se:
a + bi = R*(cos(t) + i*sen(t))
entao:
a   -b   =  R*cos(t)  -R*sen(t)
b    a        R*sen(t)  R*cos(t)

Engracado que voce tenha se interessado pelo problema e o nao o Rafael, jah que foi ele que originou toda a discussao...


[]s,
Claudio.



Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder
desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS
em 1999:

Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma:
a -b
b a
onde a e b sao numeros reais.

Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I.

[]s,
Claudio.

on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> on 17.03.04 22:11, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:
>
>> Pessoal,
>>
>> Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
>> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
>> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
>> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
>> processos que transformam as características geométricas dos números
>> complexos em algo simples.
>>
>> Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de
>> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?
>>
> Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos
> munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto
> dos racionais com adicao e multiplicacao).
>
> Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y) =
> f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.
>
> No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -
> adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita
> acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.
>
> Por e! xemplo, o polinomio caracteristico da matriz:
> a -b
> b a
> eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
> Uma das raizes eh justamente a + bi.
>
> A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos
> quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo"
> corpo.
>
> []s,
> Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

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