Re: [obm-l] Ordem nos Reais

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 17, 2004 at 03:00:15PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> Mas o que acontece se a ordem for diferente?
> 
> Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
> irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
> 1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então: 
> x <# y <==> x < y (ordem usual)
> 2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.
> 
> Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais ou
> dois racionais são comparados da forma usual.
> 
> Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}.  Cada
> elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por exemplo,
> por cada racional).  Pergunta: Qual o supremo de A?

Não tem supremo, claro.

Mas o que você fez foi um pouco violento demais. Você definiu uma ordem
que não respeita as operações + e *: dessa forma, a única coisa que sobra
é a cardinalidade e você pode botar um monte de ordens completamente
diferentes nos reais. Você pode, por exemplo, fazer com que R fique
bem ordenado (todo subconjunto não vazio tem mínimo).

No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
é a usual. Isto também acontece para o conjunto dos reais algébricos mas
não acontece para, por exemplo Q[sqrt(2)]. Neste outro corpo existe uma outra
ordem (além da definida pela inclusão em R) que também satisfaz os axiomas
de corpo ordenado, e acho que vocês não terão dificuldade em encontrá-la.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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