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Oi, pessoal:
Aqui vai uma divagação semi-filosófica. Assim, leia só se tiver tempo de
sobra.
Me parece que o fato de R ser um corpo ordenado completo depende da
ordem que é definida no corpo dos reais.
A ordem usual é aquela que destaca um subconjunto P de R e define
que:
1) exatamente uma das três alternativas a seguir é verdadeira:
x pertence a P OU x = 0 OU -x pertence a P;
2) Se x, y pertencem a P, então x + y e xy pertencem a P.
Nesse caso, P é chamado de conjunto dos reais positivos e a ordem (<) é
definida da seguinte forma:
para todos x, y em R, x < y <==> y - x pertence a P.
Dada esta ordem, postula-se que todo subconjunto de R que é limitado
superiormente tem um supremo e pronto.
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Mas o que acontece se a ordem for diferente?
Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então:
x <# y <==> x < y (ordem usual)
2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.
Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais ou
dois racionais são comparados da forma usual.
Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}.
Cada elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por
exemplo, por cada racional).
Pergunta: Qual o supremo de A?
[]s,
Claudio.
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