[obm-l] Re: [obm-l] o 0 (zero) é natural ou não é?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Mar 15, 2004 at 03:10:27PM +0000, Daniel Campos Potsch Regufe wrote:
> Atenção matemáticos de plantão!
> Eu sempre aprendi na minha vida q o número 0 ( zero ) era natural, até q um 
> dia um professor meu de geometria analítica na turma IME-ITA provou pra 
> todos por indução q o mesmo não era natural ...
> ai ficou a minha duvida... é ou não é???

Vamos devagar:

(0) A questão se 0 é ou não natural é uma questão de *definição*.
A idéia de "provar por indução" uma coisa destas é profundamente equivocada
e espero para o nosso bem que o seu professor tenha sido incompreendido.

(1) Os dois conjuntos {0, 1, 2, 3, ... } e {1, 2, 3, 4, ... } são importantes.
Assim não é imediatamente óbvio que uma definição seja "melhor" que a outra.

(2) Não há consenso entre matemáticos sobre qual das duas definições
adotar. A confusão é histórica e geográfica. Peano uma vez publicou
os seus célebres axiomas começando com 0 e outra vez começando com 1
(não me lembro mais qual dos dois veio primeiro). Na França (um país
centralista sob vários aspectos) 0 é natural, mas lá 0 também é positivo
então o exemplo talvez não seja dos melhores.

(3) Se pensarmos que a palavra "natural" deve ter conotações históricas,
penderemos para dizer que 0 não é natural. Afinal o número 0 só foi
"descoberto" relativamente tarde: nosso calendário nem tem ano 0
(..., 3 AC, 2 AC, 1 AC, 1 AD, 2 AD, 3 AD, ...). Mas cuidado:
o número 1 também foi descoberto muito depois de 2 e 3:
algém vai propor que 1 também não seja natural?

(4) Se pensarmos que a palavra "natural" deve ter conotações lógicas,
penderemos para dizer que 0 é natural. O conceito mais fundamental de
número natural deve ser o de cardinal finito e 0 certamente é um cardinal
finito (a idéia de uma teoria dos conjuntos sem {} é ridícula demais
para ser discutida). Os naturais são casos particulares de ordinais
e olhando para os ordinais fica bem claro que 0 deve estar lá;
a construção de Von Neumann também só funciona começando no 0
(0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0,1} = {{}.{{}}}, 3 = {0,1,2} = ...).
Se o nosso calendário *tivesse* ano 0 teríamos sido poupados da
discussão idiota se o milênio vira de 1999 para 2000 ou de 2000 para 2001.

(5) Se você estiver escrevendo e desejar ser compreendido por todos,
ou *explique* o que você quer dizer com "natural" ou *evite completamente*
a palavra e fale de inteiros positivos ou inteiros não negativos.
Eu acho ridículo em uma prova penalizar um estudante pq ele teve
um professor que deu a definição diferente.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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