[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Mar 11, 2004 at 10:47:21PM -0500, Faelccmm@aol.com wrote:
> Para o Nicolau ou quem souber,
> 
> [... Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
> sempre existe um único polinômio p de grau < n tal que p(xi) = yi...]
> 
> Poderiam me dar um exemplo de uma sequencia qualquer apenas para visualizar 
> melhor o que esta acima ? Pois esta relacao entre [[[sequencia X polinomios X 
> geometria analitica]]] foi bem interessante.  

Defina
qi(x) = (x - x1)(x - x2) ... (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) ... (x - xn)
Note que qi é um polinômio de grau (n-1) com raízes
x1, x2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., xn. Ou seja,
qi(xj) = 0 se i for diferente de j e qi(xi) é diferente de 0.
Defina ri(x) = qi(x)/qi(xi): temos ri(xj) = [ i = j ] (notação de Iverson),
ou seja, 1 se i = j e 0 caso contrário.
Finalmente, defina p(x) = y1 r1(x) + y2 r2(x) + ... + yn rn(x).
Claramente p(xi) = yi para todo i e p é um polinômio de grau <= n-1.

Suponha agora que p1(xi) = yi para todo i. Temos (p1 - p)(xi) = 0 para
todo i donde (p1 - p)(x) = s(x)(x-x1)(x-x2)...(x-xn) para algum polinômio s.
Assim ou p1 = p (se s = 0) ou grau(p1 - p) >= n (se s for diferente de 0).
O segundo caso implica grau(p1) >= n. Isto prova o que eu afirmei.

O maple tem a função interp que obtem este polinômio p.
Digamos que você deseje obter uma seqüência que comece assim:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
Bem, talvez esta seqüência seja um polinômio. Como demos 11 termos,
podemos encontrar um único polinômio p de grau <= 10 tal que
p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ..., p(11) = 31.
O comando para encontrar este polinômio no maple é:

p := interp([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31],x);

A que o maple responde com:

       457    10    5501   9   3001   8   358907  7   4825441  6   5944169  5
p := ------- x   - ------ x  + ----- x  - ------ x  + ------- x  - ------- x
     3628800       725760      15120      120960      172800        34560

       253180001  4   331321657  3   16361409  2   1282409
     + --------- x  - --------- x  + -------- x  - ------- x + 900
        362880         181440          5600          504

Ou seja,
p = (457 x^10 - 27505 x^9  + 720240 x^8  - 10767210 x^7  + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4  - 6626433140 x^3  + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 3265920000)/3628800.

Assim, os primeiros 20 termos da seqüência são claramente:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ...

Bem, talvez você consiga pensar em alguma outra seqüência com
aqueles primeiros 11 termos, mas você não tem como negar que a minha
resposta está correta. ;-)

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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