Re: [obm-l] Matrizes que Comutam

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 10, 2004 at 07:11:45PM -0300, claudio.buffara wrote:
> Oi, pessoal:
> 
> Estou com uma duvida meio ampla sobre matrizes que comutam.
> 
> Seja A uma matriz nxn inversivel com coeficientes num dado corpo F.
> O conjunto de tais matrizes forma um grupo não-abeliano GL(n,F) com relação
> ao produto de matrizes.  O que podemos dizer em geral sobre o tamanho e a
> estrutura de C(A), o centralizador de A = subgrupo das matrizes de GL(n,F)
> que comutam com A?
> 
> Por exemplo, num problema da obm-u de 2003, o grupo era GL(4,Z_p) e as
> matrizes satisfaziam a A^2 = I ==> um caso extremamente particular, mas que
> deu origem à minha dúvida.
> 
> Será que fica mais fácil trabalhar com a totalidade das matrizes nxn e não
> apenas as inversíveis e, nesse caso, tentar analisar o subespaco das matrizes
> que comutam com uma dada matriz A?
> 
> Nesse caso eu tenho uma conjectura (mas com baixíssima convicção): se os
> autovalores de A são distintos, então as matrizes que comutam com A são
> justamente os polinômios em A e a dimensão do subespaço dessas matrizes é n.

De certa forma sim, é melhor olhar para o anel de todas as matrizes nxn
em vez do grupo. A sua conjectura é verdadeira: se uma matriz tem todos
os autovalores distintos então ela é diagonalizável (em algum corpo)
e as únicas matrizes que comutam com uma matriz diagonal com entradas
diagonais distintas são outras matrizes diagonais. Ora, qualquer matriz
diagonal é um polinômio de uma matriz diagonal com entradas distintas.
Assim, desfazendo a conjugação, se B comuta com A então B = p(A).
Na verdade a conclusão vale com uma hipótese um pouco mais fraca:
se o polinômio característico de A é igual ao polinômio mínimo
então as matrizes que comutam com A são exatamente os polinômios em A:
a demonstração é basicamente a mesma, usando Jordan.

Nos casos acima, o conjunto das matrizes que comutam com A e o subanel
gerado por A coincidem, e ambos têm dimensão n (como espaço vetorial).
Se os polinômios mínimo e característico forem diferentes, então
a dimensão do subanel gerado por A é m < n, o grau do polinômio mínimo.
Eu não tenho certeza se existe uma fórmula interessante relacionando
m, n e l, a dimensão do subanel das matrizes que comutam com A:
acho que não, mas certamente temos l > n.

Você começou com a pergunta em GL, ou seja, você quer olhar para a interseção
entre o subanel acima com GL. Eu faço a seguinte observação, que fica como
problema. Suponha que o polinômio característico de A seja irredutível
no corpo no qual estamos trabalhando e seja p um polinômio não nulo de
grau menor do que n: então p(A) é inversível. Assim, se o corpo tem q
elementos então este grupo tem q^n - 1 elementos. Segundo problema:
prove que este grupo é cíclico.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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