Re: [obm-l] Matrizes que Comutam

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 10, 2004 at 07:11:45PM -0300, claudio.buffara wrote:
> Oi, pessoal:
> 
> Estou com uma duvida meio ampla sobre matrizes que comutam.
> 
> Seja A uma matriz nxn inversivel com coeficientes num dado corpo F.
> O conjunto de tais matrizes forma um grupo n�o-abeliano GL(n,F) com rela��o
> ao produto de matrizes.  O que podemos dizer em geral sobre o tamanho e a
> estrutura de C(A), o centralizador de A = subgrupo das matrizes de GL(n,F)
> que comutam com A?
> 
> Por exemplo, num problema da obm-u de 2003, o grupo era GL(4,Z_p) e as
> matrizes satisfaziam a A^2 = I ==> um caso extremamente particular, mas que
> deu origem � minha d�vida.
> 
> Ser� que fica mais f�cil trabalhar com a totalidade das matrizes nxn e n�o
> apenas as invers�veis e, nesse caso, tentar analisar o subespaco das matrizes
> que comutam com uma dada matriz A?
> 
> Nesse caso eu tenho uma conjectura (mas com baix�ssima convic��o): se os
> autovalores de A s�o distintos, ent�o as matrizes que comutam com A s�o
> justamente os polin�mios em A e a dimens�o do subespa�o dessas matrizes � n.

De certa forma sim, � melhor olhar para o anel de todas as matrizes nxn
em vez do grupo. A sua conjectura � verdadeira: se uma matriz tem todos
os autovalores distintos ent�o ela � diagonaliz�vel (em algum corpo)
e as �nicas matrizes que comutam com uma matriz diagonal com entradas
diagonais distintas s�o outras matrizes diagonais. Ora, qualquer matriz
diagonal � um polin�mio de uma matriz diagonal com entradas distintas.
Assim, desfazendo a conjuga��o, se B comuta com A ent�o B = p(A).
Na verdade a conclus�o vale com uma hip�tese um pouco mais fraca:
se o polin�mio caracter�stico de A � igual ao polin�mio m�nimo
ent�o as matrizes que comutam com A s�o exatamente os polin�mios em A:
a demonstra��o � basicamente a mesma, usando Jordan.

Nos casos acima, o conjunto das matrizes que comutam com A e o subanel
gerado por A coincidem, e ambos t�m dimens�o n (como espa�o vetorial).
Se os polin�mios m�nimo e caracter�stico forem diferentes, ent�o
a dimens�o do subanel gerado por A � m < n, o grau do polin�mio m�nimo.
Eu n�o tenho certeza se existe uma f�rmula interessante relacionando
m, n e l, a dimens�o do subanel das matrizes que comutam com A:
acho que n�o, mas certamente temos l > n.

Voc� come�ou com a pergunta em GL, ou seja, voc� quer olhar para a interse��o
entre o subanel acima com GL. Eu fa�o a seguinte observa��o, que fica como
problema. Suponha que o polin�mio caracter�stico de A seja irredut�vel
no corpo no qual estamos trabalhando e seja p um polin�mio n�o nulo de
grau menor do que n: ent�o p(A) � invers�vel. Assim, se o corpo tem q
elementos ent�o este grupo tem q^n - 1 elementos. Segundo problema:
prove que este grupo � c�clico.

[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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