[obm-l] Distancia entre conjuntos

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Ola a todos

Vou apresentar a prova que encontrei para o fato de que, se A e B sao
conjuntos disjuntos e nao vazios de um espaco metrico X, com A compacto e B
fechado, entao d(A,B) >0. Para isto, observamos inicialmente que, da
definicao de d(A,B) = inf {d(a,b) : a pertence a A, b pertence a B},
segue-se que d(A,B) = inf {d(a,B) : a pertence a A}, onde d(a,B), a
distancia de a ateh B, eh definida por d(a,B) = inf {d(a,b) : b pertence a
B}. De fato, se definirmos d'(A,B) =  inf {d(a,B) : a pertence a A}, entao,
para todo a em A, temos d'(A,B) <= d(a,B). Alem disto, para todo b em B
temos d(a,B) <= d(a,b) . Logo, d'(A,B) <= d(a,b) para todo a em A e todo b
em B, ou seja, d'(A,B) <= inf {d(a,b) : a pertence a A, b pertence a B} =
d(A,B). Por outro lado, para cada a em A temos que d(A,B) <=  d(a,b) para
todo b em B, o que implica que d(A,B) <= inf{d(a,b) : b pertence a B} =
d(a,B). Logo d(A,B) <= inf {d(a,B) : a pertence a A} = d'(A,B). Segue-se
portanto que d(A,B) = d'(A,B). 

Observamos ainda (conhecido fato da Topologia e da Analise) que d(a,B) = 0
se, eh somente se, a estah no fecho de B. De fato, se a estah no fecho de B,
entao para todo eps>0 existe b em B tal que  d(a,b)<eps. Logo, d(a,B) <=
d(a,b) < eps. Como eps eh arbitrario, segue-se d(a,B) =0. Por outro lado, se
d(a,B) =0, entao para todo eps>0 existe b em B tal que d(a,b) <eps, ou seja,
para todo eps>0 a bola aberta de centro em a e raio eps intersecta B. Temos
portanto que a estah no fecho de B.  

Definamos, agora, f: X->[0, inf) por f(x) = d(x,B). Um conhecido fato da
Topologia (o qual eh facil de demonstrar) eh que f eh Lipschitz, logo
uniformemente continua, em X (|f(x1) - f(x2)| <= d(x1,x2) para todos x1 e x2
de X - condicao de Lipschitz com constante 1).  A restricao de f ao compacto
A apresenta, portanto, um minimo global f(r) em algum r de A. Como A e B sao
disjuntos, r nao estah em B, e como B eh fechado, B confunde-se com o seu
fecho. Logo, r nao estah no fecho de B, o que implica que d(r,B) = f(r) >0.
Como f apresenta um minimo global em r, temos que f(r) = inf {d(a,B) : a
pertence a A} = d(A,B). Logo, d(A,B) >0, conforme desejado.

Conforme jah mostrado em outras mensagens, a compaticidade de A eh
essencial, naum basta que seja apenas fechado.

Um abraco.
Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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