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----- Original Message -----
Sent: Saturday, March 06, 2004 5:19
PM
Subject: Re: [obm-l] Identidades de
mdc
Outro fato
interessante eh que dado dois numeros a e b, entao
a*b = mmc(a,b)*mdc(a,b)
Em uma mensagem de 6/3/2004 17:08:12 Hora padrão leste da Am. Sul,
claudio.buffara@terra.com.br
escreveu:
on 06.03.04 16:33, Thor at thor-oliveira@bol.com.br wrote:
>
> Já que estamos falando em mdc, porque quando a gente
fatora em primos, o mdc
> sempre vai ser o produto dos fatores comuns
de menores expoentes?como
> demostrar isso?
O mdc de um
conjunto de inteiros divide cada um deles e eh o maior inteiro
positivo
que o faz.
Seja p um fator primo do mdc.
Se o expoente de p
no mdc for maior do que o expoente de p em algum dos
inteiros, o mdc nao
vai dividir este inteiro exatamente, o que contradiz a
definicao de mdc.
Por outro lado, se o expoente de p no mdc for estritamente menor do
que o
menor expoente de p em cada um dos inteiros, nos poderemos
multiplicar o mdc
por p e ele ainda irah dividir cada um dos inteiros.
Logo, o mdc original
nao era o maior divisor comum dos inteiros (pois
mdc*p > mdc), o que tambem
eh uma contradicao.
Logo, a unica
possibilidade eh que o expoente de p no mdc seja igual ao
menor expoente
de p presente em cada um dos inteiros.
Fazendo o mesmo raciocinio
para cada fator primo presente em pelo menos um
dos inteiros, voce chega
a conclusao de que mdc = produto dos fatores primos
comuns elevados aos
menores expoentes.
Ficou claro?
Um abraco,
Claudio.
ok! valeu
!!!
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