Re: [obm-l] Identidades de mdc

[Faelccmm@xxxxxxx]

Outro fato interessante eh que dado dois numeros a e b, entao 
a*b = mmc(a,b)*mdc(a,b)


Em uma mensagem de 6/3/2004 17:08:12 Hora padrão leste da Am. Sul, claudio.buffara@terra.com.br escreveu:


> on 06.03.04 16:33, Thor at thor-oliveira@bol.com.br wrote:
>
> > 
> > Já que estamos falando em mdc, porque quando a gente fatora em primos, o mdc
> > sempre vai ser o produto dos fatores comuns de menores expoentes?como
> > demostrar isso?
>
> O mdc de um conjunto de inteiros divide cada um deles e eh o maior inteiro
> positivo que o faz.
>
> Seja p um fator primo do mdc.
>
> Se o expoente de p no mdc for maior do que o expoente de p em algum dos
> inteiros, o mdc nao vai dividir este inteiro exatamente, o que contradiz a
> definicao de mdc.
>
> Por outro lado, se o expoente de p no mdc for estritamente menor do que o
> menor expoente de p em cada um dos inteiros, nos poderemos multiplicar o mdc
> por p e ele ainda irah dividir cada um dos inteiros. Logo, o mdc original
> nao era o maior divisor comum dos inteiros (pois mdc*p > mdc), o que tambem
> eh uma contradicao.
>
> Logo, a unica possibilidade eh que o expoente de p no mdc seja igual ao
> menor expoente de p presente em cada um dos inteiros.
>
> Fazendo o mesmo raciocinio para cada fator primo presente em pelo menos um
> dos inteiros, voce chega a conclusao de que mdc = produto dos fatores primos
> comuns elevados aos menores expoentes.
>
> Ficou claro?
>
> Um abraco,
> Claudio.