Re: [obm-l] noves fora

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] noves fora

on 04.03.04 21:29, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

So pra botar gasolina na fogueira: prove que existem infinitos primos com algum de seus digitos igual a 9.

P.S.:NAO VALE APELAR PARA DIRICHLET!!!!!!!

Chegaram os bombeiros....

A serie dos inversos dos primos diverge. Se eliminarmos dessa serie todos os primos com algum digito 9, restarah uma serie cuja soma eh menor do que H*, pois todos os seus termos estarao incluidos na soma de H*. Logo, a serie dos inversos dos primos com algum digito 9 deverah ser divergente, o que implica que o conjunto de tais primos deve ser infinito.

Dirichlet prova mais: que existem infinitos primos com ultimo digito 9. Basta tomar a PA  10k + 9.

Um abraco,
Claudio.


Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

Acabei de ver que eh pra provar que H* < 80.

Eh soh melhorar as estimativas abaixo.
Eu majorei o primeiro grupo por 9 e o segundo por 8,1, mas eh facil ver que
3 e 3 sao tambem cotas superiores.

Logo H* < 90 + 3 - 9 + 3 - 8,1 = 78,9 < 80.

[]'s,
Claudio.

on 04.03.04 16:05, Ricardo Bittencourt at ricbit@700km.com.br wrote:

>
> Gente, me mandaram esse exercício aqui, mas eu não
> consegui demonstrar. Alguém sabe como fazer?
>
> Provar que a soma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n eliminando
> todos os denominadores que tenham o digito 9 é menor do que 80
>
Esse problema eh relativamente famoso.

A ideia eh agrupar os termos da serie harmonica mutilada em funcao do numero
N de algarismos do denominador:

H* = (1+1/2+...+1/8) + (1/10+1/11+...+1/88) + (1/100+1/101+...+1/888! ) + ...

e depois provar que em cada grupo, o numero de termos eh menor do que 9^N.
Essa eh a parte crucial, e acho que sai por inducao.

Isso significa que:
1+1/2+ ... +1/8 < 1+1+...+1 < 9;
1/10+1/11+...+1/88 < 1/10+1/10+...+1/10 < 9^2/10;
1/100+1/101+...+1/888 < 1/100+1/100+...+1/100 < 9^3/10^2;
...

E, portanto, que:
H* < 9 + 9^2/10 + 9^3/10^2 + ... = 9/(1-9/10) = 90.

Um abraco,
Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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