[obm-l] Re: [obm-l] dúvida sobre relações

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Daniel,

Transcrevendo um trecho de uma mensagem minha anterior:

De definição: R é relação de A em B se, e somente se, R estiver contido no
produto cartesiano A x B e R é um conjunto não-vazio. Se A e B forem
conjuntos finitos, então n(A x B) = n(A)*n(B). Tal resultado vem do
Princípio Fundamental da Contagem, exemplificando:

Seja A = {1,2,3} e B = {4,5}, temos:

A x B = {(1;4),(1;5),(2;4),(2;5),(3;4),(3;5)}

n(A x B) = n(A)*n(B) = 3*2 = 6

Assim, satisfazendo à definição, o número de subconjuntos de A x B que podem
ser R será 2^[n(AxB)]-1, que é 2^[n(A)*n(B)]-1. Vale ressaltar que alguns
autores não exigem que R seja um conjunto não-vazio, então teríamos:
n(R) = 2^[n(A)*n(B)].

.......................................

Voltando às suas dúvidas. O que é uma relação? Bem, se for mais claro para
você entender, raciocine como se uma relação fosse uma função (isso não é
verdade, toda função é uma relação, mas o raciocínio ajuda você a entender a
idéia.)

Suponha que definamos:

A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Pelo que acima demonstrei, o produto cartesiano de A por B possui 36
elementos. (Só para relembrar: dados dois conjuntos A e B não-vazios,
chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares
ordenados (x;y) de modo que x pertença ao conjunto A e y, ao conjunto B).
Agora, definamos: R = {(x;y) pertence a A x B | y = x^2}. O conjunto R é
subconjunto de A x B e é formado somente por pares ordenados (x;y), de modo
que o elemento x pertencente a A é relacionado ou associado ao elemento y
pertencente a B por meio de alguma regra ou critério. No exemplo dado, a
regra foi y = x^2. Esse subconjunto R de A x B é chamado de relação de A em
B.

E por que eu disse que ficaria mais fácil se você comparasse esse conceito
ao de função? Porque, por exemplo, se definirmos uma função f: A --> B, não
podemos afirmar que ela será a mesma que f: B --> A, a menos que possamos
assegurar que A = B. Analogamente, as relações de A e B e de B e A são, em
geral, distintas. Logo, não se pode considerar (x;y) e (y;x) como o mesmo
par, contando-se uma única vez. A fórmula demonstrada, 2^[n(A)*n(B)]-1,
segue a definição.

Respondi às suas perguntas abaixo. Quaisquer dúvidas, não hesite, escreva!
;-)

Abraços,

Rafael de A. Sampaio




----- Original Message -----
From: <kleinad@webcpd.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 29, 2004 1:33 PM
Subject: [obm-l] dúvida sobre relações


Recentemente, postaram algo sobre relações entre conjuntos, e eu fiquei com
uma dúvida.

Todas as relações de A em B se fazem associando-se 1 subconjunto de A a 1
subconjunto de B, exceto o vazio? Por exemplo, para A = { 1, 2, 3 } e B = {
4, 5, 6 }, ({ 1, 2 } , {4}) é uma relação de A em B ?

*** Todas as relações de A em B se fazem associando-se um ELEMENTO de A a um
ELEMENTO de B. No entanto, como toda relação está contida no produto
cartesiano, não faz sentido que seja um conjunto vazio, ainda que muitos não
vejam problema nisso. A relação que você expôs é falsa. Seria relação de A
em B, por exemplo, R = {(1;4), (2,5), (3,6)}. Por quê? Ora, ela está contida
em A x B = {(1;4), (1;5), (1;6), (2;4), (2;5), (2;6), (3;4), (3;5), (3;6)},
e não é vazia. Observe que, por acaso, ela é definida por uma regra, y =
x+3, mas isso não é pedido pela definição (vide início deste e-mail).




E, pensando deste modo, pelo princípio da contagem, o número total de
relações no caso acima não seria ( 2^3 - 1 )*( 2^3 - 1 ), ou seja, ( 2^
(n_a) - 1 )*( 2^n_b - 1 )?

Exemplo: A = { 1, 2 } e B = { 3 , 4 }

R1: 1 -> 3
R2: 1 -> 4
R3: 1 -> { 3, 4 }
R4: 2 -> 3
R5: 2 -> 4
R6: 2 ->  { 3, 4 }
R7: { 1, 2 } -> 3
R8: { 1, 2 } -> 4
R9: { 1, 2 } -> { 3, 4 }

Ou seja, ( 2^3 - 1 )*( 2^3 -1 ) = 9 e não 2^( 2*2 ) =  16 relações.

Se houver distinção por exemplo entre { 1, 2 } e { 2, 1 }, então temos 16
relações....

*** Para o seu exemplo, considerando A = {1,2} e B = {3,4}, teremos o
produto cartesiano A x B = {(1;3), (1;4), (2;3), (2;4)} e o produto
cartesiano B x A = {(3;1), (3;2), (4;1), (4;2)}. Claramente, A x B é
diferente de B x A. Isso fica ainda mais evidente se você entender cada um
desses pares como pontos no plano cartesiano. Essa é a idéia. Para contarmos
o número de relações, devemos contar o número de subconjuntos possíveis para
cada produto cartesiano, visto que cada relação é um subconjunto, de acordo
com a definição. Também como demonstrei na mensagem anterior, como a ordem
de escolha dos pares não importa para o subconjunto formado, devemos
escolher 1 entre os 4 pares, depois escolher 2 entre os 4 pares, depois 3
entre os 4 pares, ou, por fim, escolher todos os pares. Simbolicamente:
C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) + C(4,4) = 2^4 - 1 = 15. Dessa maneira, teremos 15
relações possíveis para cada um dos produtos cartesianos.




Perdoem se escrevi demais, nao sei praticamente NADA a respeito.

Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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