Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Seja o triângulo retângulo ABC (reto em B) e admitindo, então, que os dois
lados do quadrado sejam coincidentes aos catetos, teremos, pelo teorema de
Pitágoras:

(x+4)^2 + (y+4)^2 = 12^2, sendo x e y os valores que somados a 4 representam
os catetos.

Chamando o ponto de intersecção do quadrado com AC de P e o ponto de
intersecção do quadrado com AB de Q, sabemos que o ângulo APQ e o ângulo ACB
são correspondentes, portanto têm a mesma medida. Assim,

tg(APQ) = tg(ACB) ==> x/4 = 4/y ==> y = 16/x

Substituindo na relação anterior:

(x+4)^2 + (4+16/x)^2 = 12^2 ==> (x^2+16)(x+4)^2 = 144x^2 ==>
==> x^4 + 8x^3 - 112x^2 + 128x + 256 = 0

Desgraçadamente, essa equação é completa do 4º. grau e não possui qualquer
raiz racional. Pela regra de sinais de Descartes, sabemos que há 2 raízes
positivas e 2 negativas. Agora, para descobrir tais raízes, só nos resta
utilizar o método de Ferrari (e não de Tartaglia, como foi dito, embora seja
necessário também) e rezar para que Deus nos ajude............

Primeiramente, encontra-se um w real arbitrário para a equação seguinte:

w^3 + 112w^2 + (128*8-4*256)w + 4*(-112)*256 - 128^2 - 8^2 * 256 = 0 <=>
<=> w^3 + 112w^2 - 147456 = 0

Eis outro ponto crítico: trata-se de uma equação do 3º. grau incompleta. No
entanto, as raízes são racionais, não sendo obrigatório o uso do método de
Tartaglia, embora o tamanho do termo independente não seja muito simpático
para usar o TRR...

Assim, escolhendo-se uma das formas, obtêm-se as raízes: -96, -48 e 32.
Arbitrariamente, escolherei w = 32.

Definem-se R, D e E, usados para construir as raízes da equação em x:

R = sqrt(8^2/4 - (-112) + 32) = 4*sqrt(10)
D = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) +
+ (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) - 4*sqrt(2)
E = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) -
- (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) + 4*sqrt(2)

x_1 = -8/4 + R/2 + D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2)
x_2 = -8/4 + R/2 - D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2)
x_3 = -8/4 - R/2 + E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2) < 0
(não convém)
x_4 = -8/4 - R/2 - E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2) < 0
(não convém)


E, como sempre ocorre nesses casos, y = 16/x_1 = x_2 ou y = 16/x_2 = x_1.

Logo, entendendo "o valor total de seus catetos" como a soma dos tais
catetos, (x_1+4)+(x_2+4) = 12+4*sqrt(10).


É isso.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio


----- Original Message -----
From: Douglas Ribeiro Silva
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 19, 2004 7:21 PM
Subject: RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo


Ah... ainda bem que alguem mandou um e-mail sobre esse problema porque eu já
estava me esquecendo de perguntar isso...

Vi a bela resolução do Cláudio para este problema, mas heis a questão... e
se em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto à hipotenusa,
tivéssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos?

Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a questão, mas
sempre caí numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadrada
bonitinha, mas os termos não se anularam. Gostaria que alguém mandasse a
resolução desse jeito, se é que é possível resolver sem usar
Cardano-Tartaglia.

Um abraço, Douglas Ribeiro

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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