RES: [obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND!

["Douglas Ribeiro Silva" <douglasrsilva@xxxxxxxxxx>]

Não tenho certeza sobre o tal paradoxo, mas ao que me parece seria
relativo ao processo de obtenção dessa corda.

Escolhendo ao acaso uma corda de uma circunferência, qual é a
probabilidade de que ela seja maior que o lado do triângulo equilátero
inscrito nessa 
circunferência?

Se escolhermos uma corda já "pronta" dentro da circunferência a
probabilidade é diferente de considerar essa corda(que não deixa de ser
um segmento de reta) formada pela união de 2 pontos escolhidos
aleatoriamente na circunferência.

No caso da corda já "pronta" acho que a probabilidade é 1/2. Traça-se o
diâmetro da circunferência e considerando-se a corda perpendicular a
este diâmetro, ela teria somente metade do segmento para ser maior que o
lado do triangulo eqüilátero inscrito.

Agora, se formarmos a corda por 2 pontos escolhidos aletoriamente
teremos 2 possibilidades:

a) o primeiro ponto cai dentro da circunferência concêntrica à citada no
enunciado, e com raio de metade da mesma(Não sei se usei o português
corretamente... "O primeiro ponto cai dentro de uma circunferência de
raio 2, se a circunferência citada no enunciado for de raio 4. Estas
duas são concentricas). Se assim for, então o próximo ponto poderá cair
onde quiser que ele será maior que o lado do triangulo eqüilátero
inscrito.

b) primeiro ponto cai dentro da circunferência concêntrica à citada no
enunciado, e com raio de metade da mesma. Então teria-se que calcular a
área em que o outro ponto poderia ser posto para satisfazer a condição
do enunciado. Na verdade esse cálculo acho que é bem complicado... pois
pelo que deu pra perceber existe uma probabilidade mínima e uma
probabilidade máxima, que seriam respectivamente se o primeiro ponto
caísse em cima da circunferência de raio maior, ou se o primeiro ponto
caísse em cima da de raio menor. Por sinal eu gostaria de saber de
alguém como seria o calculo dessa probabilidade média. Seria tomando uma
área média? Ou fazendo a media das probabilidades mínima e máxima? Ou
tanto faz? Heheheh eu realmente fiquei na duvida

Não sei se é isso que realmente define o tal paradoxo, mas pelo que deu
a entender é isso. Bem interessante!

Abraços, Douglas Ribeiro

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: quarta-feira, 11 de fevereiro de 2004 11:39
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND!

On Tue, Feb 10, 2004 at 08:26:56PM -0300, jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> Turma! Alguma idéia a respeito do problema dos dados? Eu,
particularmente,
> continuo na mesma, apesar de achar o raciocínio muito parecido com o
da
> Penélope x Olívia, elucidado recentemente pelo Ralph. Enquanto isso,
vejam
> abaixo um famoso paradoxo em que incrivelmente um problema sobre
> probabilidades passa a ter diversas respostas.

Você quer dizer aquele que eu propus e repito abaixo?
É muito difícil, e a dificuldade é combinatória,
nada a ver com estes problemas de probabilidade com
um raciocínio certo e outro errado.

[]s, N.

PS: O que é o paradoxo de Bertrand?

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Tome uma coleção finita de dados. Os dados não precisam ter 6 faces,
o número de faces é um inteiro positivo qq n, e as faces são numeradas
de 1 a n. O valor de n (o número de faces) pode inclusive variar de um
dado
para outro, isto é, estamos misturando dados de vários tipos.
A única restrição é que cada dado deve ser honesto, i.e.,
que em um dado com n faces cada face tem probabilidade 1/n.
Os dados também são independentes uns dos outros, claro.
Vamos jogar todos os dados da coleção e somar todos os números
sorteados:
chamemos esta soma de N.

É bem fácil calcular os valores mínimo e máximo possível de N:
Nmin é o número de dados e Nmax é o número total de faces de todos os
dados.
Seja Nm = (Nmin + Nmax)/2.

Sejam N1 > N2 >= Nm. Prove que prob(N=N1) <= prob(N=N2).

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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