Re: [obm-l] Problema Interessante

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

O Marcio Cohen propos, no ultimo domingo, um problema interessante, provar
que x = arccos[((sqrt(5)-1)/2]/pi eh irracional. Eu achei que isto poderia
ter solucao por fracoes continuas ou com base na divisao aurea. Mas por aih
nao cheguei a nada. 

Depois eu notei que (sqrt(5)-1))/2 eh uma das dua raizes da equacao do
segundo grau, de coeficientes inteiros, 2x^2 + x -1 =0, de modo que
(sqrt(5)-1))/2 eh algebrico. Observamos ainda que cos(pi*x) =(sqrt(5)-1))/2,
o que implica em que a parte real de e^(pi*x) seja Re[^(pi*x)] = 
sqrt(5)-1))/2. Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao
estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as
partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se
lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo
rascunhar uma prova, eu gostaria. 

Bom, assumindo-se que o citado teorema efetivamente exista, concluimos que
Re[e^(pi*x)] ek algebrico e que, desta forma, e^(pi*x*i) nao eh raiz da
unidade. Se x for racional, entao existem inteiros p>0 e q<>0 tais que x
=p/q. Logo pi*x*i = pi* p/q *i e e^(pi*x*i)= cos(p*pi/q) + i * sen(p*pi/q).
Logo, [e^(pi*x*i]*q = cos(p*pi) + i * sen(p*pi). Mas eh sempre possivel
escolhermos p/q = x de modo que p seja par e que, consequentemente,
cos(p*pi)  = 1 e sen(p*pi) =0. Isto nos mostra que existe q inteiro  tal que
[e^(pi*x*i]*q  =1 . A conclusao eh que se x eh racional entao e^(pi*x*i) eh
raiz da unidade para algum inteiro p. 
dado que, no caso prooposto, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade, segue-se que
x eh iracional.
Supondo-se, eh claro, que o teorema que citei existe...Vou tentar
demonstra-lo, se possivel.
Artur


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