Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis

["Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

INVERTIVEL

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---------- Original Message -----------
From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sun, 08 Feb 2004 20:39:13 -0200
Subject: Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis

> on 08.02.04 17:34, Fábio Dias Moreira at fabio.dias@superig.com.br wrote:
> 
> > -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> > Hash: SHA1
> > 
> > [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>]
> >> E aqui vai um de algebra linear:
> >> 
> >> Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que:
> >> A^5 = I (= matriz identidade n x n)   e   A*B*A^(-1) = B^2.
> >> Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I.
> >> Qual o menor valor possivel de k?
> >> [...]
> > 
> > A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado,
> > 
> > A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2,
> > A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação,
> > A^3*B*A^(-3) = B^8.
> > A^4*B*A^(-4) = B^16.
> > A^5*B*A^(-5) = B^32 <==> B = B^32 <==> B^31 = I, pois B é invertível.
> > 
> > Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = 
I, o
> > que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é
> > primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k 
tal
> > que B^k = I é 31.
> > 
> > []s,
> > 
> > - -- 
> > Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
> 
> De fato, faltou dizer que B <> I pro problema ter alguma graca. 
> Alias, a versao original tratava de elementos de um grupo e nao 
> especificamente de matrizes.
> 
> Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel 
> ou invertivel ou ambas sao aceitaveis?
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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------- End of Original Message -------

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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