Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 08.02.04 17:34, Fábio Dias Moreira at fabio.dias@superig.com.br wrote:

> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
> 
> [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>]
>> E aqui vai um de algebra linear:
>> 
>> Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que:
>> A^5 = I (= matriz identidade n x n)   e   A*B*A^(-1) = B^2.
>> Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I.
>> Qual o menor valor possivel de k?
>> [...]
> 
> A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado,
> 
> A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2,
> A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação,
> A^3*B*A^(-3) = B^8.
> A^4*B*A^(-4) = B^16.
> A^5*B*A^(-5) = B^32 <==> B = B^32 <==> B^31 = I, pois B é invertível.
> 
> Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o
> que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é
> primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal
> que B^k = I é 31.
> 
> []s,
> 
> - -- 
> Fábio "ctg \pi" Dias Moreira

De fato, faltou dizer que B <> I pro problema ter alguma graca. Alias, a
versao original tratava de elementos de um grupo e nao especificamente de
matrizes.

Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou
invertivel ou ambas sao aceitaveis?

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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