Re: [obm-l] Topologia

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

1) Seja (X,<) um poset e seja T a coleçao de todos os
subconjuntos A de X t.q. nao existem pontos x em A e y
fora de A com y<x. Mostre q T eh uma topologia sobre X
t.q. a intersecçao de qq coleçao nao vazia de abertos
eh sempre um aberto.

Obs.: < representa a ordem parcial no poset.


a)Eh imediato que X e o conjunto vazio estao em T.

b)Seja C uma colecao arbitraria de conjuntos de T. Se y esta fora da uniao
de de C, entao y esta fora de todos os conjuntos de C. Suponhamos que, para
algum x da uniao de C, tenhamos y<x. Como x pertence a algum A de C, temos
y<x para y fora de A e x em algum A de C, logo em algum A de T -> uma
contradicao com relacao aa construcao de T.  Isto nos mostra que a uniao de
colecoes arbitrarias de T estah em T.

c) Se x pertence aa interseccao de C (supondo esta interseccao nao vazia) e
y esta fora desta interseccao, entao existe algum A em C tal que x pertence
a A (x pertence a todos os conjuntos de C) e y nao pertence a A. Pela
definicao dos conjuntos A, nao podemos ter y<x. Logo, nao existem x na
inter. de C e y fora dela satisafazendo a y<x. A interseccao de colecoes
arbitrarias de T estah, portanto, em T.   

(a) , (b) e (c) nos mostram que T eh uma toplogia sobre X que apresenta as
propriedades citadas. 

O (2) fica para mais tarde.
Abracos
Artur 

2) Dê um exemplo de um subconjunto A de um espaço
topologico X t.q. a fronteira de A contenha a
fronteira do interior de A, com as duas fronteiras
sendo diferentes. 



Grato!

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