[obm-l] =?Windows-1252?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Tri=E2ngulos_em_grafos?=

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Helptentei usar contagem (seguindo o esquema de vários teoremas do Proofs
from The Book), ficou interessante:

seja V = {1, 2, ..., 2n} e G = (V, E) nosso querido grafo.
defina d[i] como o grau do vértice i.

é claro que soma{d[i], i=1..2n} = 2|E| = 2(n²+1)
se (i, j) é uma aresta de E e d[i] + d[j] > 2n então há um triângulo
contendo a aresta (i, j). (isso me parece óbvio, mas se não for para o
leitor, faça um desenho, é aplicação imediata do PCP).

suponha que d[i] + d[j] <= 2n para toda aresta (i, j) de E.

então, somando sobre toda aresta de E:

S := soma{d[i] + d[j], (i, j) em E} = soma{d[i]², i=1..2n} >= 1/(2n) *
soma{d[i], i = 1..2n}² = 2|E|²/n
(aqui eu uso a desigualdade de Cauchy)

por outro lado, temos que S <= 2n|E|

logo 2n|E| >= 2|E|²/n <=> n²|E| >= |E|², o que é absurdo!

isso já mostra que existe pelo menos um triângulo... estou sem tempo pra
verificar a parte mais legal, mas talvez saia desta mesma lógica.

[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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