[obm-l] Principio do supremo em R

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Boa tarde
Quando se constroi R, quase sempre se postula que todo conjunto do mesmo
limitado superiormente possui supremo (o que acarreta que todo conjunto
limitado inferiormente possua infimo) e, com base nisto, demonstra-se que
toda sequencia de Cauchy converge. Eu vi um exercicio interessante, qual
seja, trocar a ordem do que se postula: assim, assumindo-se primariamente
que toda sequencia de Cauchy convirja, provar que todo conjunto limitado
superiormente possui supremo. Seguindo a sugestao dada de usar a propriedade
arquimediana dos reais, vou tentar dar uma prova deste fato.
Seja entao C um conjunto nao vazio de R limitado superiormente. A
propriedade arquimediana implica que C seja limitado superiormente por uma
infinidade de elementos de Z. Alem desta propriedade, sabemos tambem que,
para todo real x, existe um inteiro m<x. Se x pertence a C, entao existe um
inteiro m<x que, desta forma, nao eh limite superior de C e eh menor que
qualquer deste limites superiores. Isto nos mostra que W_0 = {n em Z: n eh
limite superior de C} eh limitado inferiormente. Admitindo-se conhecido o
fato de que Z eh bem ordenado, concluimos que W_0 possui um elemento minimo
w_0 e que, portanto, w_0 -1 nao esta em W_0 e nao eh limite superior de C.
Consideremos agora o conjunto Z/2 = {n/2: n estah em Z}. Hah um
homeomorfismo entre Z e Z/2, de modo que Z/2 "funciona" como Z e, em razao
disto, o conjunto W_1, composto pelos elementos de Z/2 que sao limites
superiores de C, possui um elemento minimo w_1. Uma modo talvez mais formal
de vermos isto eh tomar o conjunto dos limites superiores inteiros de 2C =
{2x: x estah em C} e dividi-los por 2, obtendo W_1. 
Como Z eh subconjunto de Z/2, W_0 eh subconjunto de W_1 e, portanto, w_1 <=
w_0. Alem disto, temos tambem que w_1 > w_0 - 1. De fato, se tivessemos w_1
<= w_0 -1, entao, como w_0-1 nao eh limite superior de C, w_1 tambem nao
seria, contradizendo a definicao de w_1. Temos portanto que w_0 -1 < w_1 <=
w_0. 
Definido W_1, podemos, de modo similar, definir W_2 como o conjunto dos
elementos de Z/(2^2) = Z/4 que sao limites superiores de C. Como dividimos
por 2, temos que w_1 - 1/2 < w_2 <= w_1. Prosseguindo indutivamente, obtemos
W_n = {x em Z/(2^n) : x eh limite superior de C}. Em virtude das sucessivas
divisoes por 2, temos que w_n - 2^(-n) < w_(n+1) <= w_n para todo
n=0,1,2...e |w_(n+1) - w_n| < 2^(-n). Se m>n, sucessivas aplicacoes da
desigualdade do triangulo leva a que |w_m - w_n| < 2^(-n) + 2^(-n-1) ...+
2^(-m+1) <   2^(-n) + 2^(-n-1) ...+ 2^(-m+1) + 2^(-m)..... = 2^(-n+1). Logo,
escolhendo-se n suficientemente grande podemos tornar |w_m - w_n|
arbitrariamente proximo de 0, do que concluimos que (w_n) eh uma sequencia
de Cauchy. Por hipotese, temos entao que (w_n) converge para algum w em R.
Como (w_n) eh uma sequencia decrescente, temos w<= w_n para todo n. (Se,
para algum n, tivessemos w -w_n = eps >0, entao para todo m>n teriamos w -
w_m > w-w_n > eps>0 , contrariando a definicao de w como lim w_n).  
Se x pertence a C, entao x<= w_n para todo n=0,1,2.... (pois todo w_n eh
limite superior de C), o que implica que x<=w. Logo, w eh limite superior de
C.
Se y<w, entao w-y>0 e, para algum n, temos 0<2^(-n)<w-y. Logo, y< w - 2^(-n)
< w_n - 2^(-n), pois w_n>=w. Se y for limite superior de C, entao w_n -
2(-n) tambem eh. Mas como w_n - 2(-n) estah em W_n, isto contraria a
definicao de w_n como menor elemento de W_n. Segue-se que nenhum y<w eh
limite superior de C, o que demonstra que w = supremo C. Assim, todo
conjunto de R limitado superiormente tem supremo.
Artur

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