Re: [obm-l] Duvida - polinomio

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias@xxxxxxxxxxxxxx>]

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[Sunday 01 February 2004 13:01: obm-l@mat.puc-rio.br]
> Nicolau, novamente obrigado pela ajuda e outro problema que estou com
> duvida:
>
> - Seja P(x) um polinomio com coeficientes inteiros e P(21) = 17,
> P(32) = - 247 e P(37) = 33. Prove que se P(N) = N + 51 para algum inteiro
> N, então N = 26.
> [...]

Seja Q(x) = P(x) - (x+51). Note que Q(21) = Q(37) = -55 e Q(32) = -330. Note 
que um polinômio de segundo grau que satisfaz isso é 5(x-29)^2-375.

Logo Q(x) pode ser escrito como
Q(x) = (x-21)(x-32)(x-37)R(x) + 5*(x-29)^2 - 375, com R em Z[x].

Note que P(N) = N+51 significa que Q(N) = 0. Logo

(375-5*(N-29)^2)/(N-21)(N-32)(N-37) = R(x), que é inteiro (se algum dos termos 
do denominador for zero, então P(N) != N+51). Então

N-21 | 5N^2 - 290N + 3830 <=> N-21 | (N-21)(5N-185)-55  <=> N-21 | 55
N-32 | 5N^2 - 290N + 3830 <=> N-32 | (N-32)(5N-130)-330 <=> N-32 | 330
N-37 | 5N^2 - 290N + 3830 <=> N-37 | (N-37)(5N-105)-55  <=> N-37 | 55

Se N-21 | 55, N-21 está em {-55, -11, -5, -1, 1, 5, 11, 55}, i.e. N está em
{-34, 10, 16, 20, 22, 26, 32, 76}, logo N-37 está em {-71, -27, -21, -17, -15, 
- -11, -5, 39}. Os únicos elementos que dividem 55 são -11 e -5, i.e. N só pode 
ser 26 ou 32. Como Q(32) != 0, só é possível que Q(26) = 0.

Note que eu não demonstrei que Q(26)=0, mas apenas que Q(N)=0 ==> N=26.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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