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Caro Carlos,
Primeiramente, comentarei a sua resolução
e, depois, apresentarei a minha.
Você acerta nas "deduções", mas erra
nas justificativas.
Definições: seja
k um número inteiro, por definição, 2k é par e 2k+1 é
ímpar.
Conseqüência imediata: no conjunto dos
inteiros (Z), os números pares e os números ímpares alternam-se, pois, entre
dois ímpares, há um par e, analogamente, entre dois pares, há um
ímpar.
Demonstrações:
Um número par subtraído de outro par
resultará em par, pois:
se p e q são inteiros, então 2p - 2q =
2(p-q) que, de acordo com a definição, é par.
De forma análoga, um número par
subtraído de outro ímpar resultará em ímpar, pois:
se m e n são inteiros, então 2m - (2n+1) = 2m - 2n -1 = 2(m-n) - 1 que,
segundo a definição, é ímpar.
O erro que observei é atribuir às imagens
da função exponencial de base 2 o caráter par, visto que esta é
definida de |R --> |R. Logo, haverá imagens que não pertencerão ao
conjunto dos ínteiros, por exemplo: 2^(1/2), que é irracional. Somos levados a
uma variação da célebre: "Todo número par é uma imagem da função exponencial de
base 2, mas nem toda imagem desta função será par."
Ainda assim, o seu raciocínio é válido.
Cuidado com as definições tão somente.
Eis, no entanto, a minha
resolução:
2^x - 2^y = 24
(I)
x + y = 8 <=> y = 8 -
x (II)
Fazendo (II) em (I), vem: 2^x -
2^(8-x) = 24 <=> 2^x - (2^8 / 2^x) = 24 <=> (2^x)^2 - 24*2^x - 2^8 =
0, que é uma equação quadrática em 2^x. Para simplificar, toma-se w = 2^x.
Logo,
w^2 - 24w - 2^8 = 0
Discriminante = (-24)^2 - 4*1*(-2^8) =
2^6*3^2 + 2^6*2^4 = 2^6(9+16) = 2^6*5^2
w = [24 +- sqrt(2^6*5^2)]/2 => w = 32 ou
w = -8
Assim: 2^x = 32 <=> x =
5 ou 2^x = -8 (não convém)
Em (II): y = 8 - x = 8 - 5 =
3
Logo, o conjunto verdade V =
{(5;3)}.
Espero ter podido ajudar.
Um forte abraço,
Rafael de A. Sampaio
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