[obm-l] Re: [obm-l] dúvida - poblema das casas

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Para um dado n, o problema requer que encontermos, se possivel, um inteiro
0<k<n tal que 1+....(k-1) = (k+1)...+n. Em cada um dos membros temos a soma
de numeros em uma PA de razao 1. A primeira soma eh k(k-1)/2; a segunda eh
(n+k+1)(n-k)/2. Logo, devemos ter  k(k-1)/2 = (n+k+1)(n-k)/2. Com um pouco
de algebra concluimos que k^2 = n(n+1)/2. Uma conclusao interessante, o
quadrado de k deve ser igual aa soma dos n primeiros naturais. 
Como so interessam valores postivos de k, concluimos que, para um dado n,
hah no maximo 1 valor de k que satisfaz ao desejado. Isto acontecera sempre
que n(n+1)/2 for um quadrado perfeito. Quando para um n existir um k
conforme desejado, teremos sempre que k > sqrt(n*n/2) = n/sqrt(2).
Uma questao interessante, que nao resolvi aqui: Existem infinitos valores de
n para os quais n(n+1)/2 eh um quadrado perfeito?
Artur      


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Assunto: [obm-l] dúvida - poblema das casas
Data: 28/01/04 16:09


Tava fazendo esse problema das casas a um tempo atras:

http://acm.uva.es/p/v1/138.html

Ele se resume a encontrar inteiros 0 < k < n.
E a soma dos números antes de k tem que ser igual a soma dos números de k+1
até n. Por exemplo 1 e 1 ou 6 e 8, ou 71631910824649559 e
101302819786919521.



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