Re: [obm-l] (n!)^(1/n) -> iinf

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Jan 26, 2004 at 02:53:55AM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Esta demonstracao baseada na formula de Stirling eh de fato interessante. Eu
> via a deducao desta formula a muito tempo. Eh baseada na integral de Ln(x),
> nao eh isto?

A demonstração da fórmula de Stirling, você quer dizer?

Bem, há muitas demonstrações mas sim, uma das mais conhecidas
começa estimando

int_1^n log(t) dt = n log n - n + 1

pela regra dos trapézios: a estimativa dá

log(2) + log(3) + ... + log(n-1) + (log(n)/2) = log(n!) - (log(n)/2)

Como a função log tem concavidade para baixo temos

log(n!) < n log n - n + (log(n)/2) + 1

Defina a_n = (int_n^{n+1} log t dt) - ((log(n) + log(n+1))/2):
ou seja, a_n é a área da "bochechinha" que o gráfico de log
faz acima da reta secante entre n e n+1.
Claramente a_n > 0 para todo n >= 1 e

log(n!) = n log n - n + (log(n)/2) + 1 - ( a1 + a2 + ... + a_{n-1} ).

Não é difícil provar que a série
a1 + a2 + ...
converge; seja C o seu limite; temos

log(n!) > n log n - n + (log(n)/2) + 1 - C

para todo n e a diferença tende a zero.
Tomando a exponencial dos dois lados temos

n! > n^n e^{-n} sqrt(n) e^{1-C}

e o quociente tende para 1 de forma monótona decrescente
quando n tende a infinito. Falta provar que e^{1-C} = sqrt(2 pi),
mas isto fica para outra vez.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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