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[obm-l] Re: polin�mios
Em 22 Jan 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
>Se n � um n�mero impar e a � um real qualquer, quando a equa��o abaixo pode
>ser resolvida por radicais?
>x^n + a(x+1)=0
>Se for poss�vel, quais s�o as ra�zes reais dessa equa��o?
Preciso pensar. Parece que aplicando as id�ias de
Galois d� pra responder. Mas s� vou enrolar e dizer
o que todos provavelmente j� sabem:
Uma equa��o � sol�vel por radicais, se e somente se
o Grupo de Galois da equa��o � sol�vel.
O grupo de Galois de uma extens�o de corpo L/K
(L � uma extens�o de K) � o grupo formado pelos
automorfismos de L/K, isto �
dos automorfismos de L que fixam
elementos de K (em outras palavras aut(x)=x para x em K).
Ele � denotado por Gal(L/K).
Exemplo: Considerando C como extens�o de R (a+bi, com
a e b em R, ent�o os �nicos elementos de Gal(C/R) pelo
que sei s�o a identidade e o complexo conjugado, pois
essas s�o as �nicas opera��es de C que fixam todos os
elementos de R).
Seja f(x) um polin�mio racional de grau n e seja K o
campo separador de f(x) sobre Q (conjunto dos racionais).
(menor subcampo de C contendo *todas* as ra�zes de f).
Exemplo a+b*sqrt(2) com a e b racionais � um subcampo
de C contendo todas as ra�zes de x^2-2=0 (na realidade
� uma extens�o de campo, mas seria essa extens�o
o menor subcampo?)
Sendo K o campo separador de f(x) sobre Q, ent�o
cada elemento (automorfismo)
do grupo de Galois G=Gal(K/Q), permuta
as ra�zes de f de uma �nica maneira. Assim, G pode
ser identificado com um subgrupo do grupo sim�trico Sn
Ent�o a equa��o � sol�vel por radicais se e somente
se Sn for um grupo sol�vel, o que n�o
n�o ocorre para n>=5 a n�o ser em algumas exce��es, onde
faltam termos na equa��o. Sendo assim poss�vel identificar
o grupo de Galois de uma equa��o com Sn (n=1,2,3,4).
Lembrando: Um grupo � sol�vel, quando existe uma cadeia de
subgrupos N0,N1,N2,..Np normais ao grupo dado tais
que:
i) N(i-1) � normal a Ni
ii) N(i-1)/Ni (grupo fator) � abeliano
iii) Np = 1 (elemento identidade)
Espero n�o ter cometido erros e levado car�o :)...
Na realidade esse assunto ainda n�o entrou direito
em minha cabe�a e sou inexperiente nele...
[]s
-- Ronaldo L. Alonso
>
>Andr� T.
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>========================================================================Instru��es
>para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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