[obm-l] Re: polin�mios

[ronaldogandhi@xxxxxxxxx]

Em 22 Jan 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>Se n � um n�mero impar e a � um real qualquer, quando a equa��o abaixo pode 
>ser resolvida por radicais? 
>x^n + a(x+1)=0 
>Se for poss�vel, quais s�o as ra�zes reais dessa equa��o? 

  Preciso pensar. Parece que aplicando as id�ias de 
Galois d� pra responder. Mas s� vou enrolar e dizer 
o que todos provavelmente j� sabem: 

    Uma equa��o � sol�vel por radicais, se e somente se 
o Grupo de Galois da equa��o � sol�vel. 
    O grupo de Galois de uma extens�o de corpo L/K 
(L � uma extens�o de K) � o grupo formado pelos 
automorfismos de L/K, isto � 
dos automorfismos de L que fixam 
elementos de K (em outras palavras aut(x)=x para x em K). 
Ele � denotado por Gal(L/K). 
   Exemplo: Considerando C como extens�o de R (a+bi, com 
a e b em R, ent�o os �nicos elementos de Gal(C/R) pelo 
que sei s�o a identidade e o complexo conjugado, pois 
essas s�o as �nicas opera��es de C que fixam todos os 
elementos de R). 
   Seja f(x) um polin�mio racional de grau n e seja K o 
campo separador de f(x) sobre Q (conjunto dos racionais). 
(menor subcampo de C contendo *todas* as ra�zes de f). 
   Exemplo a+b*sqrt(2) com a e b racionais � um subcampo 
de C contendo todas as ra�zes de x^2-2=0 (na realidade 
� uma extens�o de campo, mas seria essa extens�o 
o menor subcampo?) 
    Sendo K o campo separador de f(x) sobre Q, ent�o 
cada elemento (automorfismo) 
 do grupo de Galois G=Gal(K/Q), permuta 
as ra�zes de f de uma �nica maneira.  Assim, G pode 
ser identificado com um subgrupo do grupo sim�trico Sn 
   Ent�o a equa��o � sol�vel por radicais se e somente 
se Sn for um grupo sol�vel, o que n�o 
n�o ocorre para n>=5 a n�o ser em algumas exce��es, onde 
faltam termos na equa��o.  Sendo assim poss�vel identificar 
o grupo de Galois de uma equa��o com Sn (n=1,2,3,4). 

   Lembrando: Um grupo � sol�vel, quando existe uma cadeia de 
subgrupos N0,N1,N2,..Np normais ao grupo dado tais 
que: 
  i) N(i-1) � normal a Ni 
  ii) N(i-1)/Ni (grupo fator) � abeliano 
  iii) Np = 1 (elemento identidade) 


   Espero n�o ter cometido erros e levado car�o :)... 
   Na realidade esse assunto ainda n�o entrou direito 
   em minha cabe�a e sou  inexperiente nele... 
 []s 

-- Ronaldo L. Alonso 

> 
>Andr� T. 
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