[obm-l] Re: polinômios

[ronaldogandhi@xxxxxxxxx]

Em 22 Jan 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>Se n é um número impar e a é um real qualquer, quando a equação abaixo pode 
>ser resolvida por radicais? 
>x^n + a(x+1)=0 
>Se for possível, quais são as raízes reais dessa equação? 

  Preciso pensar. Parece que aplicando as idéias de 
Galois dê pra responder. Mas só vou enrolar e dizer 
o que todos provavelmente já sabem: 

    Uma equação é solúvel por radicais, se e somente se 
o Grupo de Galois da equação é solúvel. 
    O grupo de Galois de uma extensão de corpo L/K 
(L é uma extensão de K) é o grupo formado pelos 
automorfismos de L/K, isto é 
dos automorfismos de L que fixam 
elementos de K (em outras palavras aut(x)=x para x em K). 
Ele é denotado por Gal(L/K). 
   Exemplo: Considerando C como extensão de R (a+bi, com 
a e b em R, então os únicos elementos de Gal(C/R) pelo 
que sei são a identidade e o complexo conjugado, pois 
essas são as únicas operações de C que fixam todos os 
elementos de R). 
   Seja f(x) um polinômio racional de grau n e seja K o 
campo separador de f(x) sobre Q (conjunto dos racionais). 
(menor subcampo de C contendo *todas* as raízes de f). 
   Exemplo a+b*sqrt(2) com a e b racionais é um subcampo 
de C contendo todas as raízes de x^2-2=0 (na realidade 
é uma extensão de campo, mas seria essa extensão 
o menor subcampo?) 
    Sendo K o campo separador de f(x) sobre Q, então 
cada elemento (automorfismo) 
 do grupo de Galois G=Gal(K/Q), permuta 
as raízes de f de uma única maneira.  Assim, G pode 
ser identificado com um subgrupo do grupo simétrico Sn 
   Então a equação é solúvel por radicais se e somente 
se Sn for um grupo solúvel, o que não 
não ocorre para n>=5 a não ser em algumas exceções, onde 
faltam termos na equação.  Sendo assim possível identificar 
o grupo de Galois de uma equação com Sn (n=1,2,3,4). 

   Lembrando: Um grupo é solúvel, quando existe uma cadeia de 
subgrupos N0,N1,N2,..Np normais ao grupo dado tais 
que: 
  i) N(i-1) é normal a Ni 
  ii) N(i-1)/Ni (grupo fator) é abeliano 
  iii) Np = 1 (elemento identidade) 


   Espero não ter cometido erros e levado carão :)... 
   Na realidade esse assunto ainda não entrou direito 
   em minha cabeça e sou  inexperiente nele... 
 []s 

-- Ronaldo L. Alonso 

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>André T. 
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