Algoritmo para a construção do contra-exemplo:
1-Seja f uma função linear tal que f(x)=0 para todo x racional.
(Então f(x+q)=f(x) para todo q racional.
Como f é linear, f(q.x)=q.f(x) para todo q racional.)
2-Seja a um número irracional e f(a)=1.
(Então, se b é da forma a.p+q, p e q racionais, f(b)=p.f(a).)
3-Seja c um número irracional para o qual a função ainda não foi definida.
Então f(c)=1.
4-Defina os outros pontos de forma que f seja linear.
5-Volte para o 3º passo.
A função f que será construida após infinitas iterações é descontínua em todos os seus pontos e é linear.
André T.