[obm-l] Uso Diferente de Matrizes

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Geralmente, a nivel de 2o. grau, matrizes soh aparecem em problemas onde
temos que calcular somas, produtos, transpostas ou inversas. Ou seja, uma
chatice total.
Entao, aqui vai uma aplicacao inusitada mas razoavelmente facil de matrizes:

Uma cidade tem n habitantes. Uma lei municipal rege a formacao de clubes
nesta cidade e diz o seguinte:
a) Cada clube tem que ter um numero impar de socios;
b) Quaisquer dois clubes distintos podem ter apenas um numero par de socios
em comum (incluindo zero).
Prove que essa cidade pode ter, no maximo, n clubes.

Sugestao: 
Suponha que existem m clubes (m: inteiro positivo a ser determinado) e
defina a matriz A (m x n), de forma que:
A(i,j) = 1, se o habitante j eh socio do clube i;
A(i,j) = 0, caso contrario.

Seja A' = transposta de A. Calcule B = A*A'. O que eh o elemento B(i,j) da
matriz B?

Dada a lei (regras (a) e (b) acima), prove que B eh inversivel e, portanto,
tem m linhas linearmente independentes. A partir disso, por que voce pode
concluir que m <= n?

Voce consegue exibir um conjunto de n clubes que obedecem a lei?

Um abraco,
Claudio. 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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