[obm-l] sen 18 e sen 54 [Re: [obm-l] dúvida 2]

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Essa solução é praticamente igual à
que apresento num livro de Trigonometria
que escrevi. Só que o problema pedia
o sen 18.

Lá como aqui encontramos duas soluções
e precisamos decidir qual é a verdadeira.

Vemos que  sen 18 = [raiz(5) - 1]/4 e
a outra solução era x = [raiz(5) + 1]/4. Não
fui até as últimas conseqüências e não
percebi que x = sen 54.

Isso eu só percebi recentemente quando
resolvi (no braço) a equação

x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 5 = 0.

Mas outra solução interessante para cos 36
(cos 18 e sen 18 seguem facilmente) encontra-se
no The Art of Computer Programming do Knuth.

Sejam u = cos 72 , v = cos 36. Temos u = 2v^2 - 1;
v = 1 - 2 sen^2 18 = 1 - 2u^2. Logo,
u+v = 2(v^2 - u^2), ou seja, 1 = 2(v - u). Assim,
4v^2 - 2v - 1 = 0. v = phi/2, onde phi = [raiz(5) + 1]/2
tem a ver com a seqüência de Fibonacci.

[]'s
Luís


-----Mensagem Original-----
De: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sexta-feira, 5 de dezembro de 2003 08:11
Assunto: Re: [obm-l] dúvida 2


> Achei a minha resolução:
>
> Sabendo que:
> cos 3x = 4cos³ x - 3cos x
> sen 3x = 3sen x - 4sen³ x
>
> Podemos fazer:
> = cos 5x
> = cos (3x + 2x)
> = (cos 3x).(cos 2x) - (sen 3x).(sen 2x)
> = (4cos³ x - 3cos x).(cos² x - sen² x) - (3sen x -
> 4sen³ x).[2.(sen x).(cos x)]
> = 4.(cos x)^5 - 4.(cos³ x).(sen² x) - 3cos³ x + 3.(cos
> x).(sen² x) - [6.(sen² x).(cos x) - 8.(cos x).(sen
> x)^4]
> = 4.(cos x)^5 - 4cos³ x + 4.(cos x)^5 - 3cos³ x + 3cos
> x - 3cos³ x - [6cos x - 6cos³ x - 8.(cos x).(1 - cos²
> x)²]
> = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - {6cos x - 6cos³ x
> - 8.(cos x).[1 - 2cos² x + (cos x)^4]}
> = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [6cos x - 6cos³ x
> - 8cos x + 16cos³ x - 8.(cos x)^5]
> = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [10cos³ x - 2cos x
> - 8.(cos x)^5]
> = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - 10cos³ x + 2cos x
> + 8.(cos x)^5
> = 16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x
>
> E resolvemos a equação:
> x = 18°
> cos 5x = cos 90°
> cos 5x = 0
> 16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x = 0
> (cos x).[16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5] = 0
>
> Ou cos x = 0, que é falso no caso de 18°, ou:
>
> 16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5 = 0
> cos² x = [10 +- raiz(20)]/16
> cos x = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4
>
> Precisamos descobrir o sinal dentro da raiz. Como 18
> está próximo de 15° e o cosseno de 15° é:
> cos 15 = [raiz(2) + raiz(6)]/4
> cos 15 = 0,966
>
> O valor de cos 18 tem que estar próximo disso:
> cos 18 = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4
> raiz[10 + 2raiz(5)]/4 = 0,951
> raiz[10 - 2raiz(5)]/4 = 0,588
>
> Daí concluímos que:
> cos 18 = raiz[10 + 2raiz(5)]/4
>
> E podemos achar o seno de 18° também:
> sen² 18° = 1 - cos² 18°
> sen² 18° = 1 - [10 + 2raiz(5)]/16
> sen² 18° = [6 - 2raiz(5)]/16
> sen 18° = raiz[6 - 2raiz(5)]/4
> sen 18° = raiz{[raiz(5) - 1]²}/4
> sen 18° = [raiz(5) - 1]/4
>
> Abraços,
>
> Rafael.
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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