Re: [obm-l] dúvida 2

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

Achei a minha resolução:

Sabendo que:
cos 3x = 4cos³ x - 3cos x
sen 3x = 3sen x - 4sen³ x

Podemos fazer:
= cos 5x
= cos (3x + 2x)
= (cos 3x).(cos 2x) - (sen 3x).(sen 2x)
= (4cos³ x - 3cos x).(cos² x - sen² x) - (3sen x -
4sen³ x).[2.(sen x).(cos x)]
= 4.(cos x)^5 - 4.(cos³ x).(sen² x) - 3cos³ x + 3.(cos
x).(sen² x) - [6.(sen² x).(cos x) - 8.(cos x).(sen
x)^4]
= 4.(cos x)^5 - 4cos³ x + 4.(cos x)^5 - 3cos³ x + 3cos
x - 3cos³ x - [6cos x - 6cos³ x - 8.(cos x).(1 - cos²
x)²]
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - {6cos x - 6cos³ x
- 8.(cos x).[1 - 2cos² x + (cos x)^4]}
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [6cos x - 6cos³ x
- 8cos x + 16cos³ x - 8.(cos x)^5]
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [10cos³ x - 2cos x
- 8.(cos x)^5]
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - 10cos³ x + 2cos x
+ 8.(cos x)^5
= 16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x

E resolvemos a equação:
x = 18°
cos 5x = cos 90°
cos 5x = 0
16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x = 0
(cos x).[16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5] = 0

Ou cos x = 0, que é falso no caso de 18°, ou:

16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5 = 0
cos² x = [10 +- raiz(20)]/16
cos x = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4

Precisamos descobrir o sinal dentro da raiz. Como 18
está próximo de 15° e o cosseno de 15° é:
cos 15 = [raiz(2) + raiz(6)]/4
cos 15 = 0,966

O valor de cos 18 tem que estar próximo disso:
cos 18 = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4
raiz[10 + 2raiz(5)]/4 = 0,951
raiz[10 - 2raiz(5)]/4 = 0,588

Daí concluímos que:
cos 18 = raiz[10 + 2raiz(5)]/4

E podemos achar o seno de 18° também:
sen² 18° = 1 - cos² 18°
sen² 18° = 1 - [10 + 2raiz(5)]/16
sen² 18° = [6 - 2raiz(5)]/16
sen 18° = raiz[6 - 2raiz(5)]/4
sen 18° = raiz{[raiz(5) - 1]²}/4
sen 18° = [raiz(5) - 1]/4

Abraços,

Rafael.

 --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
<peterdirichlet2002@yahoo.com.br> escreveu: >
Verdade...E bem mais fazcil do que eu imaginava...
> Mas a ideia e de que quase sempre e possivel ver um
> poligono regular...E eu estava tentando uma resposta
> cearense
> 
> Rafael <matduvidas@yahoo.com.br> wrote:
> Peter,
> 
> Você que gosta, uma vez eu achei esse valor usando
> trigonometria assim:
> Ache o cos 5x em função do cos x
> cos 5x = (cos 2x).(cos 3x) - (sen 3x).(sen 2x)
> 
> E quando chegar numa expressão só em função de cos x
> você iguala cos 5x = cos 90°
> 
> Não foi tão difícil...
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 
> --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> 
> escreveu: > Nao faço
> muita ideia mas acho que usa o fato de que
> > o angulo central e o angulo externo de um 20-agono
> e
> > de dezoito graus.Isto tem a ver com o problema que
> > Gauss resolveu com Galois
> > Talvez usando trigonometria saia...Tente
> assim:faça
> > um desenho e calcule o lado de um 20-agono de raio
> > 1.Talvez seja facil ver que para construir esta
> > coisa e mais facil ver um pentagono ou um
> > decagono...
> > 
> > tarciosd@ig.com.br wrote:
> > quanto vale o sen18º como calculo ????

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