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O livro do Heinstein “Topics of Algebra” tambem tem uma prova interessante desse fato !
Leandro.
-----Original Message-----
Vou dar um esquete de uma demo de que e e transcedental. Suponha que e e algebrico(por que sera?..?), ou seja c(n)*e^n+...+c(1)*e+c(0)=0 para alguns reais convenientes.
1)Seja P(x) um polinomio de grau r e defina
F(x)=P(x)+P'(x)+P''(x)+...+P^(r)(x)
Prove que -e^(-x)*P(x)=d/dx (e^(-x)*F(x))
2)Usando teorema do valor medio prove que para todo k>0 vale
F(k)-e^k*F(0)= -k*e^(k(1-t(k)))*P(kt(k)) :=y(k)
em que 0<t(k)<1.
3)Seja p um primo, p>n, p>c(0) e seja um polinomoio P tal que
P(x)*(p-1)!=x^(p-1)*(1-x)^p...(n-x)^p
Vamos tentar demonstrar que nisto P e um inteiro nao multiplo de P e ao mesmo tempo menor que 1.E a mesma coisa que achar um inteiro entre zero e um.
Prove que c(0)F(0)+...+c(n)F(n)=c(1)y(1)+...+c(n)y(n)
4)Seja Q(x)=soma de 0 ate r de {a(j)x^j} um polinomio em Z e p<r.
Prove que Q(i)(X)=soma de i ate r de {j(j-1)(j-2)(j-3)...(j-i+1)*a(j)(x^(j-i))} e que Q(i)(X)/(p-1)! com i>p e um polinomio de coeficientes multiplos de p.
5)Prove que o polinomio P e da forma
P(x)=(n!)^p/(p-1)!*x^(p-1)+b(0)/(p-1)!*x^p+...
Prove que P^(i)(k)=0 com i<p, k=1,2,3,...n; e tambem P^(p-1)(0)=(n!)^p e se i<p-1 entao P^(i)(0)=0.
6)Prove que p nao divide F(0) mas p divide F(k) para k=1,2,...n.
7)Se precisar prove isto:se d(i), i=0,1,...,r sao inteiros tais que p nao divide apenas o d(0) entao a soma nao e multipla de p.
8)Ja que 0<c(0)<p, use o que voce ja fez pra ver que p nao divide c(0)F(0)+...+c(n)F(n).
9)Prove que se k<=n entao (p-1)!*|y(k)|<=e^n*n^p*(n!)^p, bastando escrever o y adequadamente...
10)Agora e so fazer o primo p crescer muito para que |c(1)y(1)+...+c(n)y(n)|<1
E acabou, nao?Confiram se nao errei nada... Agora tenho que ir pra casa....Ate amanha (e bons sonhos...uaaaaahhhhh)...
ate mais!!!Ass.:Johann
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