Re: [obm-l] Numeros de Catalan

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Uma vez o Helder Suzuki propos esta coisa parecida com Catalan de algo com trenzinhos da alegria...

No artigo de series formais do ET tem uma interpretaçao bem legal...

"Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br> wrote:

> On Mon, Nov 24, 2003 at 07:05:55PM -0200, Claudio Buffara wrote:
> > Nao sei se foi discutido ou nao, mas me parece que esse problema estah
> > relacionado aos numeros de Catalan.
> > 
> > Eh facil ver que o jogo soh pode parar apos um numero impar de lancamentos.
> > Se o jogo para no (2m+1)-esimo lancamento, entao terao sido obtidas m+1
> > caras e m coroas. Alem disso, ateh o 2m-esimo lancamento (que tem que ter
> > dado cara), as caras nunca estiveram na frente.
> > O numero de maneiras disso acontecer eh Binom(2m,m)/(m+1) = m-esimo numero
> > de Catalan. Logo, a probabilidade do jogo acabar no (2m+1)-esimo lancamento
> > eh igual a P(2m+1) = Binom(2m,m)/(m+1) * p^m * (1-p)^(m+1).
> > 
> > A probabilidade do jogo nao terminar nunca serah igual a:
> > 1 - (P(1) + P(3) + P(5) + ... )
>
> De fato, números de Catalan aparecem em
>  muitíssimos problemas.
> Eu recomendo a leitura de
> http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.ps.gz
> onde há 36 páginas de interpretações combinatórias diferentes
> para esta seqüência. O autor é Richard Stanley e este material
> está relacionado com os excelentes livros Enumerative Combinatorics, vols 1, 2.
>
> > Eh interessante observar que, para p >= 1/2:
> > P(1) + P(3) + P(5) + ... = (1-p)/p
> > 
> > Ou seja, que:
> > (1-p) * SOMA(m>=0) Binom(2m,m)/(m+1) * (p*(1-p))^m = (1-p)/p ==>
> > 
> > Quando p varia de 1/2 a 1, p*(1-p) varia de 1/4 a 0.
> > Fazendo b = p*(1-p) obtemos um resultado que talvez seja interessante por si
> > soh (o que voce acha, Luis Lopes?):
> > 
> > Para 0 <= b <= 1/4:
> > SOMA(m>=0) Binom(2m,m)/(m+1) * b^m = (1 - raiz(1 - 4b))/2
> > 
> > Para b > 1/4, o termo geral nao tende a zero (teste da razao ou Stirling) e
> > a serie diverge.
> > 
> > Uma outra
>  consequencia eh que se expandirmos (1 - raiz(1 - 4x))/2 em serie,
> > obteremos justamente a serie formal cujos coeficientes sao os numeros de
> > Catalan.
>
> Esta é uma das maneiras clássicas de obter uma fórmula para os números de
> Catalan: faça a expansão de (1+x)^(1/2) usando o binômio de Newton:
>
> (1+x)^(1/2) = 1 + binom(1/2,1) x + ... + binom(1/2,k) x^k + ...
>
> onde
>
> binom(1/2,k) = (1/2)(1/2 - 1)(1/2 - 2)...(1/2 - (k-1))/k!
> = (-1)^(k-1)/2^k 1*3*5*...*(2k-3)/k!
> = (-1)^(k-1)/2^(2k-1) (2k-2)!/((k-1)!k!)
> = (-1)^(k-1)/2^(2k-1) binom(2k-2,k-1)/k
>
> e os números de Catalan apareceram...
>
> []s, N.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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