Re: [obm-l] Probabilidade de parar

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Nov 24, 2003 at 12:56:01PM +0000, Rogerio Ponce wrote:
> Olá pessoal,
> 
> Joga-se uma moeda honesta até que a quantidade obtida de "caras" seja maior 
> que a de "coroas" , quando então interrompe-se a sequência de jogadas.
> Qual a probabilidade dessa sequência não terminar nunca ?

ZERO

Este problema é um clássico.

> Variação:
> E se a moeda apresenta uma probabilidade de 60% de dar "coroa" ?

Vou generalizar ainda mais.

Suponha que a moeda tem probabilidade p >= 1/2 de dar coroa.
Se em um dado momento as coroas tem uma vantagem de k > 0
qual a probabilidade de que as caras nunca consigam nem empatar o jogo?

Seja f(k) a resposta, f: Z -> [0,1].
Por definição temos f(k) = 0 para k <= 0.
Para k > 0 jogamos a moeda uma vez: se cair cara, o que tem probabilidade
(1-p) de acontecer, a probabilidade passa a ser f(k-1); por outro lado,
se cair coroa, o que tem prob p de acontecer, a prob passa a ser f(k+1).
Assim:

f(k) = (1-p) f(k-1) + p f(k+1) para k > 0.

Uma solução para esta equação é dada por

f(k) = 0 para k <= 0 e f(k) = 1 - a^k para k >= 0 onde a = (1-p)/p.

De fato esta é a solução correta: ela é a única que tende para 1
quando k tende para infinito.

Mas escrevendo isso estou com uma sensação de déja vu: acho que este
problema já foi discutido nesta lista.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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