Re: [obm-l] demonstração

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Você tem razão, eu digitei errado. Está faltando um termo r em p - a, p - b 
e p - c. Veja se com estas equações você consegue chegar a resposta, a 
equação de segundo grau em r que aparece não é muito amigável...

Marcelo Rufino


>From: Thais Spiegel <thais@danceart.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] demonstração
>Date: Sat, 15 Nov 2003 11:32:29 -0600
>
>Marcelo, quanto ao segundo passo, estou achando que p - a = 
>[2(r1.r)^1/2].r/[r - r1] ... não sei no que posso estar errando.
>
>----------------------------------------------------------------------------------------
>
>Re: [obm-l] demonstração
>Esta questão é simplesmente maravilhosa, mas sua solução é muito grande,
>muito grande mesmo. Vou fazer um resumo da solução, tente demonstrar tudo
>que eu deixar indicado.
>
>1) Prove, utilizando Pitágoras, que as distâncias entre os pontos de
>contatos das circunferências menores e do incírculo de ABC, sobre cada um
>dos lados do triângulo, são iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 
>2(r3.r)^1/2.
>
>2) Prove, utilizando semelhança de triângulos e os valores calculados em 
>1),
>que as distâncias dos pontos de contato do incírculo de ABC aos vértices de
>ABC, sobre cado lado, são iguais a:
>p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c =
>[2(r3.r)^1/2]/[r - r3]
>
>3) Observe que o semi-perímetro de ABC é igual a soma dos valores de 2);
>
>4) Utilize a expressão da área de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p -
>a)(p - b)(p - c) para determinar uma equação de segundo grau 
>(gigantesca!!!)
>em r.
>Uma das soluções é r = (r1.r2)^1/2 +  (r2.r3)^1/2  + (r3.r1)^1/2
>
>Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solução completa desta
>questão é imensa. Como curiosidade, esta questão (com valores numéricos 
>para
>r1, r2 e r3) está na shortlist da IMO de 1984. Você pode conferir em
>http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, questão 18.
>
>Até mais,
>Marcelo Rufino de Oliveira
>
>
> >From: thais <thais@danceart.net>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: [obm-l] demonstração
> >Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600
> >
> >Não consigo resolver essa questão, se alguem puder me ajudar ...
> >
> >- Em um triângulo ABC, inscreve-se um círculo cujo raio é r. Entre esse
> >círculo e os lados do triângulo, inscrevem-se três outros círculos  cujos
> >raios são r1, r2 e r3. Demonstrar a relação:     (r1.r2)^1/2 +  
>(r2.r3)^1/2
> >  + (r3.r1)^1/2 = r
>
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