Re: [obm-l] demonstra��o

[Thais Spiegel <thais@xxxxxxxxxxxx>]

Marcelo, quanto ao segundo passo, estou achando que p - a = [2(r1.r)^1/2].r/[r - r1] ... n�o sei no que posso estar errando. 

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Re: [obm-l] demonstra��o 
Esta quest�o � simplesmente maravilhosa, mas sua solu��o � muito grande, 
muito grande mesmo. Vou fazer um resumo da solu��o, tente demonstrar tudo 
que eu deixar indicado.

1) Prove, utilizando Pit�goras, que as dist�ncias entre os pontos de 
contatos das circunfer�ncias menores e do inc�rculo de ABC, sobre cada um 
dos lados do tri�ngulo, s�o iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 2(r3.r)^1/2.

2) Prove, utilizando semelhan�a de tri�ngulos e os valores calculados em 1), 
que as dist�ncias dos pontos de contato do inc�rculo de ABC aos v�rtices de 
ABC, sobre cado lado, s�o iguais a:
p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c = 
[2(r3.r)^1/2]/[r - r3]

3) Observe que o semi-per�metro de ABC � igual a soma dos valores de 2);

4) Utilize a express�o da �rea de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p - 
a)(p - b)(p - c) para determinar uma equa��o de segundo grau (gigantesca!!!) 
em r.
Uma das solu��es � r = (r1.r2)^1/2 +  (r2.r3)^1/2  + (r3.r1)^1/2

Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solu��o completa desta 
quest�o � imensa. Como curiosidade, esta quest�o (com valores num�ricos para 
r1, r2 e r3) est� na shortlist da IMO de 1984. Voc� pode conferir em 
http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, quest�o 18.

At� mais,
Marcelo Rufino de Oliveira


>From: thais <thais@danceart.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] demonstra��o
>Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600
>
>N�o consigo resolver essa quest�o, se alguem puder me ajudar ...
>
>- Em um tri�ngulo ABC, inscreve-se um c�rculo cujo raio � r. Entre esse 
>c�rculo e os lados do tri�ngulo, inscrevem-se tr�s outros c�rculos  cujos 
>raios s�o r1, r2 e r3. Demonstrar a rela��o:     (r1.r2)^1/2 +  (r2.r3)^1/2 
>  + (r3.r1)^1/2 = r

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