[obm-l] RE: [obm-l] [u] - Espaços Top.

["Artur Coste Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Duda,

Em espacos topologicos gerais, as duas condicoes nao sao equivalentes.
Eh verdade que, se um espaco topologico tem uma base numeravel, entao
ele eh separavel; a reciproca, porem, nao eh verdadeira. 
Em espacos topologicos metrizaveis, entretanto, as duas condicoes sao de
fato equivalentes. 
Para vermos que a primeira condicao acarreta a segunda, seja {B_n} uma
base enumeravel de X. Em cada B_n nao vazio, escolhamos um elemento a_n
(recorrendo ao nosso controverso mas bem vindo amigo Axioma da
Escolha!). Sendo A o conjunto dos a_n, temos imediatamente que A eh
numeravel. Para todo x em X, existe uma vizinhanca basica B_n que contem
x. E como B_n contem a_n, segue-se que B_n intersecta A. Logo, o fecho
de A eh o proprio X, o que nos mostra que X contem um subconjunto denso
e numeravel. Concluimos portanto que X eh separavel.
Suponhamos agora que X seja um espaco metrico separavel, com metrica d,
e seja A um subconjunto denso e numeravel do mesmo. Consideremos a
colecao B das bolas abertas de centros nos elementos de A e raios
racionais. Temos entao que B eh numeravel. Se V eh um subconjunto aberto
nao vazio de X e v pertence a V, entao existe uma bola aberta B_v, de
centro em v e raio r, contida em V. Como A eh denso em X, existe um
elemento a em A tal que d(a,v)<r/2. Se s eh um racional satisfazendo a
d(a,v)<s<r/2 (este racional s certamente existe), entao a bola aberta
B_a, de centro em a e raio s, contem v e estah contida em B_a < V. Como
B_a eh um membro de B, concluimos que B eh uma base para X, pois todo
aberto de X eh dado pela uniao de membros de B.  
Logo, no caso de espacos metricos -e, portanto, de espacos topologicos
metrizaveis - as duas condicoes sao equivalentes. 

Uma outra conclusao valida em todo espaco topologico X que tenha uma
base numeravel eh que toda cobertura aberta de X contem uma
sub-cobertura numeravel.
Um abraco
Artur           

Olá pessoal!

Seja X um conjunto e T uma coleção de subconjuntos de X que é uma
topologia,
isto é:
1) vazio e X estão em T
2) a unição de uma coleção de elementos de T ainda está em T
3) a interseção de uma coleção finita de elementos de T está em T.

Dizemos que a topologia T tem uma base B se a coleção de todas as
unições
possíveis em B recupera (é igual a) T. Dizemos que T é uma topologia
separável se existe D enumerável, subconjunto de X, tal que todo
elemento de
T tem interseção não-vazia com D.

Minha pergunta.

Ser espaço topológico (X,T) separável é equivalente a ter uma base B
enumerável?

Abração a todos!
Duda.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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