RE: [obm-l] Continuidade de funcoes.

["Artur Coste Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Niski!
Se uma funcao eh continua em um elemento de seu dominio, entao  ela  eh
continua com relacao a qualquer direcao segundo a qual nos aproximamos
do elemento em questao. E a reciproca eh verdadeira. Em termos um pouco
mais precisos: Se f eh definida em um subconjunto D de R^n, tem valores
em R^m e eh continua em a (a em D, eh claro), entao, para todo eps>0
arbitrariamente escolhido, existe um d>0 tal que, se x estah em D e
||x-a||<d, entao ||f(x) - f(a)|| <eps. (|| significa a norma
Euclidiana). Vale dizer que, se escolhermos qualquer direcao em R^n e
nos aproximarmos de a segundo a mesma, entao o valor de f, computado
"deslizando-se" sobre a direcao escolhida vai se aproximar "suavemente"
de f(a).  

Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f
(isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a
qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer
curva continua que passe por a). O autor tomou um caso bem simples, a
reta bissetriz do eixos no primeiro quadrante, e mostrou que a resticao
de f a esta reta nao eh continua em 0. E disto concluiu que f nao eh
continua em 0. Para mostrar descontinuidade, basta achar uma direcao em
que isto ocorra. Mas para provar a continuidade de f, eh preciso
garantir que sua restricao a toda e qualquer reta que passe por a eh
continua. Parece injustica, nao? Mas, na vida, geralmente eh mais facil
destruir do que construir. 

Se isto eh um argumento geometrico ou algebrico? Acho que ambos, a
matematica eh coerente com ela mesma. Eu entretanto prefiro dizer que eh
um argumento analitico. 

Abracos
Artur     

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of niski
Sent: Sunday, November 09, 2003 12:56 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Continuidade de funcoes.

Ola pessoal.
Estava lendo no meu livro (Um curso de calculo, vol.2 do Guidorizzi) e 
em certo ponto ele quer mostrar que a função


f(x,y) = { (xy)/((x^2) + (y^2))  se (x,y) != (0,0)
          { 0                     se (x,y)  = (0,0)

Não é continua em (0,0).

Eu tentaria calcular o limite. Se não desse 0, a função não seria 
continua e acabou.
Mas ele faz isso.

"A composta de f com a reta gamma dada por gamma(t) = (t,t) é
g(t) = f(t,t) = { 1/2 se t != 0
                 { 0   se t  = 0
Como gamma é continua em t=0 e a composta g(t)=f(t,t) não é continua em 
t=0, resulta que f não é continua em (0,0)"

Não entendi muito bem. Isso é mais um argumento geometrico ou 
algebrico!? O que realmente significa a composta de f com a reta 
gamma(t) ?? Porque só pelo fato da composta não ser continua f 
automaticamente não é continua?!

Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.

Niski

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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