Nao sei se voce vai achar mais simples, mas a minha solucao seria a seguinte:
O numero total de triminos distintos eh:
Tipo ABC: Binom(7,3) = 35
Tipo AAB: 7*6 = 42
Tipo AAA: 7
Total = 35+42+7 = 84
Como cada trimino tem 3 numeros, temos um total de 3*84 = 252 numeros escritos em todos eles.
Por simetria, cada numero aparece o mesmo numero de vezes. Logo, cada numero aparece 252/7 = 36 vezes.
Logo, a soma dos numeros serah 36*(0+1+2+3+4+5+6) = 36*21 = 756.
Um abraco,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Fri, 7 Nov 2003 10:02:10 -0400 |
| Assunto: |
[obm-l] Olímpiada 2003, nível 3 - Primeira fase |
> Na EUREKA 16, pág.13, há o exercício que segue da primeira fase da
> Olimpíada, nível 03, deste ano:
>
>
> No triminó marciano, as peças têm 3 números cada (diferente do
>
> dominó da Terra, onde cada peça tem apenas 2 números). Os números no
>
> triminó marciano também variam de 0 a 6, e para cada escolha de 3 números
>
> (não necessariamente distintos) existe uma e somente uma peça que contém
>
> esses 3 números. Qual é a soma dos números de todas as peças do triminó
>
> marciano?
>
>
>
> Apesar de resolvê-lo sem uso de lápis ou papel, conforme reprodução
>
> a seguir, pergunto: há uma forma mais simples?
>
>
>
> RESPOSTA
>
>
>
> Pense-se no triminó sem a parte central. Assim, para cada valor da
>
> parte superior do, agora, dominó, a parte inferior assume os valores de 0
>
> a 6. Logo, para cada um daqueles valores, se tem a soma 21. Ou seja, a
>
> soma parcial do dominó é 7x21 + 21 = 8x21, sendo este último 21 da soma
>
> dos valores da parte superior.
>
> Se se vai incluir no dominó a parte central para formar o triminó,
>
> parte da soma acima estará repetida e parte não, devido à simetria, no
>
> triminó, por eixo mediano horizontal ao mesmo. Ou seja, a soma encontrada
>
> é um número da forma 2X+Y.
>
> Y é (1+1)+(2+2)+(3+3)+(4+4)+(5+5)+(6+6). Ora, isto é, logicamente,
>
> igual a 21x2. Assim, 2X=6x21. Então, X=3x21. Logo, para cada valor
>
> central, teremos a soma X+Y=5x21, ou seja, 7x5x21 + 21, este último 21 da
>
> própria soma da parte central. Portanto, a resposta é 36x21 = 720+36 =
>
> 756.
>
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
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