Re: [obm-l] Prova do IME

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, November 05, 2003 2:04 PM
Subject: Re: [obm-l] Prova do IME


>
> Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos
> possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao
(
> nao duas ou mais ) ?
>
Quest�o:
P(x) = x^3 + ax + b (b <> 0) tem 3 ra�zes reais. Prove que a < 0.

A solu��o do GPI usou as rela��es de Girard.

Aqui vai uma solu��o alternativa:
Se a = 0, ent�o P(x) tem uma �nica raiz real, igual a (-b)^(1/3).

Se a > 0, ent�o P'(x) = 3x^2 + a > 0, para todo x ==>
P(x) � estritamente crescente ==>
Como lim(x->-inf) P(x) = -inf e lim(x -> +inf) P(x) = +inf, P(x) tem uma
�nica raiz real.

Logo, s� pode ser a < 0.

Um abra�o,
Claudio.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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