Re: [obm-l] Quadrado da Soma = Soma de Cubos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 05, 2003 at 03:58:24AM -0200, Daniel Faria wrote:
> Vi a pouco tempo isto e me chamou a atençao:
> 
> ( 1 )^2 = 1^3
> 
> ( 1 + 2 )^2 = 1^3 + 2^3
> 
> ( 1 + 2 + 3 )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3
> 
> ..   ......      ......     .......
> 
> ( 1 + 2 + 3 + 4 + ................+ n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 
> .....................+ n^3
> 
> Série iniciada por 1 com todos os termos naturais.
> 
> Gostaria de uma demonstraçao simples deste fato.

Se você quer pura e simplesmente uma demonstração, é fácil dar uma por indução.
Você já verificou sozinho até o caso n=3. Suponha

(1+2+...+n)^2 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3

e agora faça

(1+2+...+n+(n+1))^2 = (1+2+...+n)^2 + 2*(1+2+...+n)*(n+1) + (n+1)^2
                    = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + n(n+1)^2 + (n+1)^2
                    = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3

Usei aqui a identidade 

1+2+...+n = n(n+1)/2

Assim se a identidade que você quer valer para n vale também para n+1...

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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