Re: [obm-l] Parabola

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Supõe que você tem dois pontos, fora do eixo ordenado (eixo do y). Pelo que
você já sabe, para cada ponto do eixo ordenado, vai existir uma e só uma
parábola que passa por este ponto e pelos outros dois, desde que os três
pontos não estejam alinhados. Ou seja, existem infinitas parábolas que
passam por dois pontos arbitrários, pois podemos variar a escolha do ponto
sobre o eixo ordenado.

A quantidade mínima é três, portanto.

De forma mais geral. Suponha que temos dados (n + 1) pontos do plano { (x_i,
y_i) : para 1 <= i <= n+1 } tais que x_i <> x_j para i <> j. Existe um e só
um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n tal que p(x_i) = y_i para 1 <=
i <= n+1. Para ver que ele é único, basta ver que se houvesse dois p e p* o
polinômio p - p* teria n+1 raízes o que seria maior que seu grau, o que nos
levaria a uma contradição. Para ver que ele existe, você pode usar o método
da interpolação de Lagrande (mais esperto) ou tentar resolver um sistema
linear, para o qual você saberá que existe solução sabendo calcular o
determinante de uma matriz da Van der Monde.

A sua questão se refere à quantidade mínima de pontos para determinar
completamente o polinômio. Dados (n+1) pontos, como vimos, vai existir um só
polinômio p(x) de grau < n+1 que passa por estes n pontos. Mas vão existir
infinitos de grau n+1 que passam por estes n+1 pontos. Para cada r real
considere

p(x) + r*(x - x_1)(x - x_2)...(x - x_(n+1)).

Abraço!
Duda.

From: "Eduardo" <curupirazinho@bol.com.br>
> Oi chará,
>
>     bem, eu n me expressei bem. Concordo e realmente
> tinha pensado no q vc falou no ultimo mail. Mas duvida
> real eh a seguinte:
>    - caso eu n conheca nenhum dos coeficientes d y(x) =
> ax^2 + bx + c. Qual a qtde minima d pontos para
> determinar tais coeficientes?
>
> Um abraço,
> Eduardo


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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