Re: [obm-l] Grupo Abeliano

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Verdade! Eu estava com grupos ciclicos na cabeca e acabei nao vendo o mais
obvio.

A unica coisa que eu deduzi ateh agora eh que G eh igual ao produto de
quaisquer dois dos subgrupos mencionados no enunciado. Infelizmente, se H e
K sao dois tais subrupos, a comutatividade HK = KH (=G) nao implica na
comutatividade de dois elementos quaisquer de G.

Um abraco,
Claudio.

on 31.10.03 15:48, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> Oi Cláudio!
> 
> Na verdade o H_(n+1) tem n elementos. O conjunto H_(n+1) é formado por TODAS
> as n-uplas com coordenadas iguais, por definição, acho que você entendeu que
> fosse o grupo gerado por um elemento do tipo (g,g,g,...,g).
> 
> Mesmo assim, o problema é que H tem n^n elementos e não n^2, como salientou
> o Yuri.
> 
> Abraço,
> Duda.
> 
> 
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>> Oi, Duda:
>> 
>> Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
> ordem
>> de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br
> wrote:
>> 
>>> Oi Cláudio!
>>> 
>>> Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
>>> Defina o grupo H = G x G x ... x G,
>>> onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
>>> cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
>>> coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
> herda
>>> a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
> elemento
>>> tem único inverso
> (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
>>> Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
>>> portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
>>> (h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
>>> elementos. Agora considere os subgrupos
>>> 
>>> H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g
> em
>>> G} para 1 <= i <= n
>>> e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
>>> 
>>> Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
> Também
>>> não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
>>> elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
> verdade.
>>> 
>>> 
>>> 
>>> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>>>> Oi, pessoal:
>>>> 
>>>> Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
>>>> 
>>>> Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
>>> interseccao
>>>> de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
> G
>>> eh
>>>> abeliano.
>>>> 
>>>> Um abraco,
>>>> Claudio.
>>>> 
>>>> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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