Re: [obm-l] OBM-2 e 3 - problema da divisibilidade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Cesar:

Vamos por partes:

1) Se sqrt(8m - 67) eh inteiro, entao 8m - 67 = n^2 para algum inteiro n.

Repare que isso implica que 8m - 72 = n^2 - 5, ou seja, que n^2 - 5 eh
multiplo de 8 ou, equivalentemente, que n^2 deixa resto 5 quando dividido
por 8.

Soh que se n deixa resto 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 quando dividido por 8, entao
n^2 deixa resto 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, respectivamente. Ou seja, n^2 nunca
deixa resto 5 na divisao por 8.

Logo, n^2 - 5 nunca serah multiplo de 8. Em particular, n^2 - 5 nunca serah
igual a 8m - 72 para algum m. Portanto, 8m - 67 nunca serah igual a n^2.

Essa historia de resto na divisao por 8 fica muito simplificada pelo uso de
congruencias - um conceito basico de teoria dos numeros. Consulte as
Eurekas. Elas tem varios artigos interessantes a respeito.

***

2) A sua afirmativa nao estah correta. De fato, quando m*p = 34^2, m*p - 67
= 33^2. No entanto, ha infinitos outros valores de m*p tais que m*p - 67 eh
quadrado perfeito. Basta tomar m*p = 67 + N^2, para algum inteiro N. Alem
disso, para N impar, m*p serah par e, portanto, composto.

Um abraco,
Claudio.


on 24.10.03 18:08, Cesar Ryudi Kawakami at cesarkawakami@uol.com.br wrote:

> Eu provei isso de um jeito muito estranho durante a prova da OBM...
> 
> Eu afirmei que m.p - 67 só será quadrado perfeito caso m.p seja igual à 34^2.
> 
> Foi algo assim:
> 
> Lembrando que a soma dos n primeiros números ímpares resulta em n^2, e
> sendo 67 o 34o. número ímpar positivo, podemos ver que m.p - 67 será um
> quadrado perfeito se, e apenas se, m.p = 34^2 e m.p - 67 = 33^2.
> 
> Agora, basta provar que em 8m = 34^2 m não é inteiro.
> 
> m = ((2.17)^2)/8
> m = (2.2.17.17)/8
> m = (17^2)/2
> 
> Assim, 8m - 67 nunca será quadrado perfeito, e, conseqüentemente, sqrt(8m -
> 67)  nunca será racional, sequer inteiro.
> 
> Qualquer erro, eu pediria pra avisar... :-)
> 
> Um abraço,
> 
> Cesar Ryudi Kawakami
> 
> At 23:02 23/10/2003, you wrote:
>> on 23.10.03 20:24, Cesar Ryudi Kawakami at cesarkawakami@uol.com.br wrote:
>> 
>>> ...
>>> sqrt(8m - 67) nunca será racional, sequer inteiro
>>> ...
>> 
>> Oi, Cesar.
>> 
>> A sua afirmativa estah correta, mas qual a sua justificativa para ela?
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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