RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

["Marcos" <mparaujo@xxxxxxxxxxxx>]

Pela descrição, você tem dois triângulos retângulos ABC (cujo ângulo
reto é A) e ACD, cujo ângulo reto é D. AC (que é cateto do triangulo ABC
e mede a e ao mesmo tempo é hipotenusa do triângulo ACD) é bissetriz do
ângulo DCB que é reto e portanto AD // BC, ou seja, o quadrilátero é um
Trapézio retângulo. DC mede 0,5*a*SQRT(2) e BC mede a*SQRT(2), portanto
BD^2 = 2,5a^2 e portanto
BD = 0,5*a*SQRT(10). (a)
Os triângulos AED e BEC são semelhantes e a razão de semelhança eh 1:2,
portanto DE/BE = 1:2. Seja DE = x, BE = 2x e BE+DE = 3x =
0,5*a*SQRT(10), ou seja, DE = (1/6)*a*SQRT(10) e BE = (1/3)*a*SQRT(10)
(b)

BF é a projeção ortogonal do cateto BC (do triângulo DCB, retângulo em
C) sobre a hipotenusa e portanto usando as relações métricas conhecidas
novamente, temos:
BF*BD = BC^2
BF * [(1/2)*a*SQRT(10)]= 2a^2
BF = (2/5)*a*SQRT(10) 

DF*DB = DC^2 (rel métrica no triângulo retângulo DCB)

DF * [(1/2)*a*SQRT(10)]=(1/2)a^2 e portanto DF = (1/10)a*SQRT(10)
EF = BF - BE = [2/5 - 1/3] *a*SQRT(10) = (1/15)*a*SQRT(10) (c)


[]'s MP

Obs.: eh uma boa refazer as contas pq eu normalmente erro (digitar e
pensar não combina muito comigo - meu reino por um quadro negro :-P -
principalmente sem a figura)


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] Em nome de
paraisodovestibulando
Enviada em: quinta-feira, 23 de outubro de 2003 03:06
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

Olá Pessoal,

Me ajudem nesta questaum:

Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles 
com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em 
semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes 
triângulos AB = AC = a e AD = CD.

a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD.
b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule 
BE e ED.
c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC 
com a diagonal BD. Calcule DF e EF.


Grato

Mr. Crowley
 
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