Re: [obm-l] Problemas de Teoria dos Grupos

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

> 1-Seja G um grupo finito e seja H um subconjunto nao
> vazio de G.Mostre que H é subgrupo de G se e somente
> se H é fechado na operaçao de G.[Sugestao: Mostre que,
> para cada elemento "a" pertencente a H, existe um
> inteiro positivo n tal que a^n = e(elemento neutro)
> ].Mostre que esta propriedade nao se mantem para G
> infinito.

   Suponha que é H fechado em relacao à operação de G. Seja a em H.
   Então a sequência infinita a, a^2, a^3, ... está em H. Mas H é finito, 
logo
   existem repetições nesta seqûência. Isto é, existem dois números n e m 
inteiros positivos
   distintos tais que a^m = a^n. Suponha, sem perda de generalidade, que m 
> n.
   Como G é grupo sabemos que, em G, existe a^(-n), isto é, o inverso de 
a^n. Donde a^m * a^(-n) =   e = a^(m-n). Mas, como m > n, (m-n) é inteiro 
positivo, o que nos diz que a^(m-n) = e = a^0,      está na seqüência 
acima, e, portanto, em H (a^0 está nesta seqüência). Como (m-n-1) >= 
0,         a^(m-n-1) está  na seqüência acima, e, portanto, em H. Mas 
a^(m-n-1) é o inverso de a.

   Mostramos que :

   G grupo finito e H subconjunto de G fechado em relação à operação em G

   Então

   para todo a em H, a^(-1) está em H                  (*)


   E é fácil ver que :

   G grupo qualquer e H um subconjunto de G

   Então

   H é subgrupo de G <-> (H é fechado em relação à operação em G) e a 
condição (*) é satisfeita

   O resultado acima nos mostra que, no caso de G finito, a afirmaçao (*) é 
automaticamente satisfeita.

> 2-Sejam G um grupo multiplicativo e seja H um subgrupo
> de G.Mostre que se x pertence a G entao xHy(y é o
> inverso de x em G) é tambem um subgrupo de G, sendo
> xHy = {xhy tal que h pertence a H}.

   xy = yx = e

   Peguemos 2 elementos em xHy, digamos, xgy e xhy.
   xgy * xhy = xghy
   Mas H é subgrupo, logo gh está em H -> xghy está em xHy -> xHy é fechado 
em relação ao produto.
   Basta mostrar que qq elemento em xHy tem inverso em xHy. Seja xhy um 
elemento de xHy.
   Como H é subgrupo, existe h^(-1) em H -> x*h^(-1)*y está em xHy
   Mas xhy * x*h^(-1)*y = x*h*h^(-1)*y = x*e*y = x*y = e. Logo xHy é 
subgrupo.

   Mais geralmente, H é isomorfo a xHy (um exercício tranqüilo). Daí é 
claro que, xHy é um subgrupo (pois H o é).

   Recomendo novamente a leitura do livro 'Tópicos de Álgebra' de I. N. 
Hernstein para uma excelente introdução aos assuntos de Grupos e Anéis.

-- 
[]s
Felipe Pina

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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