Re: [obm-l] #Ordinais = #Cardinais ?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Oct 11, 2003 at 02:56:23PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> Oi Pessoal!
> 
> Para cada número cardinal c podemos considerar um conjunto A_c com a mesma
> cardinalidade: #A_c = c. Podemos colocar uma boa ordem < em A_c, e
> considerar o número ordinal a associado a este A_c com esta ordem <. Esta
> "função" que está levando cardinais em ordinais é injetora.

Você abaixo justifica as aspas pq o domínio não é um conjunto (é a classe
dos cardinais); alguns autores chamam isto de uma Função (com F maiúsculo).
Mas também é verdade que isto não está bem definido.
Segundo o axioma da escolha todo conjunto admite uma boa ordem
mas duas boas ordens do mesmo conjunto podem ter ordinais diferentes. 
Você teria uma função bem definida se escolhesse em cada caso
o menor ordinal possível, ou seja, se c é um cardinal, f(c) é o menor
ordinal que é precedido por c outros ordinais.
 
> No outro sentido, considera para o primeiro ordinal infinito w o cardinal
> infinito f(w) = aleph_0. Defina, por recursão transfinita, o valor de f num
> ordinal a > w como sendo f(a) = menor cardinal maior que todo cardinal do
> conjunto { f(b) : b < a }. Esta "função" é injetora.

Esta é quase a definição usual de aleph_alpha.
 
> Eu usei o termo "função", com aspas, pois não existe conjunto dos ordinais
> nem conjunto dos cardinais para serem domínio ou contra-domínio.
> 
> Faz sentido esta discussão? A segunda "função" é sobrejetora também?

Faz bastante sentido, só é preciso distinguir função de Função.
Sim, a Função aleph é sobrejetora na classe dos cardinais infinitos.
Esta afirmação é aliás equivalente ao axioma da escolha.

[]s, N.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================