[obm-l] probleminha de calculo II (curvas)

[niski <fabio@xxxxxxxxx>]

Ola pessoal, estou com dificuldade na seguinte questão

"A intersecção dos cilindros [(x - 1)^2]/4 + y^2 = 1 e [(x - 1)^2]/4 + 
((z^2)/3) = 1 é formada por duas curvas. Determine o comprimento de cada 
uma delas. Há pontos de intersecção entre as duas curvas?"

Se de alguma forma facilitar, vou expor o que estava fazendo.
Estava tentando achar as equacoes parametricas das curvas.

Considerei o sistema :

{ [(x - 1)^2]/4 + y^2  = 1       (A)
{ [(x - 1)^2]/4 + ((z^2)/3)  = 1  (B)

De (A) vem :
[(x - 1)^2]/4 = 1 - y^2
Subistituindo a expressao acima em (B) vem
1 - y^2 + (z^2)/3 = 1
Resolvendo em funcao de y
y = +- z/sqrt(3)

Voltando a equacao (A)
[(x - 1)^2]/4 + (+-z/sqrt(3))^2 = 1

Aí vem a primeira duvida.
Posso tomar dois caminhos (um com ctza errado pois levam a resultados 
contraditorios)
i) se eu assumir que importa se y= +z/sqrt(3) ou - z/sqrt(3)

tomando y = +z/sqrt(3)
E sendo
(x-1)/2 = sen(t) => x = 2sen(t) + 1
z/sqrt(3) = cos(t) => z = sqrt(3)cos(t)
Tenho a parametrizacao
(2sen(t) + 1,cos(t),sqrt(3)cos(t))
E se eu tomar y = -z/sqrt(3)
Tenho a parametrizacao
(2sen(t)+1, -cos(t),-sqrt(3)cos(t))
Assim as duas parametrizacoes sao iguais...o que nao é esperado...

ii) se eu assumir que não importa se y= +z/sqrt(3) ou - z/sqrt(3) 
(afinal de contas ele sera elevado ao quadrado)
fico com
x = 2sen(t) + 1
z = sqrt(3)cos(t)
y = +-cos(t)
Assim tenho as parametrizacoes
(2sen(t)+1, -cos(t),sqrt(3)cos(t))
(2sen(t)+1, cos(t),sqrt(3)cos(t))
Agora sim dao duas curvas diferentes.

Apesar de achar o caminho ii) mais razoavel, nao consigo pensar como 
refutar o i).

Bom de qualquer forma, mesmo que (2sen(t)+1, -cos(t),sqrt(3)cos(t))
(2sen(t)+1, cos(t),sqrt(3)cos(t)) esteja correta, como para achar o 
comprimento..como eu vou saber de onde até onde eu pego para integrar 
cada curva?! Para ter certeza que nao estou dando voltas a mais ou 
contando coisa que nao devo.

Obrigado.
Niski

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================