Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

["mparaujo" <mparaujo@xxxxxxxxxxxx>]

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>De:"paraisodovestibulando" <paraisodovestibulando@bol.com.br>
>Para:"obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Assunto:[obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
>
>Olá Pessoal,
>
>Gostaria de uma ajudinha nestas duas questoes:
>
>===============================================
>Numa circunferência de centro O e de diâmetro
>AB=2R, 
>prolongando-se o diâmetro AB até um ponto M, tal
>que 
>BM=R. Traça-se uma secante MNS tal que MN=NS
>onde N e S 
>são os pontos de interseção da secante com a 
>circunferência. Determine a área do triângulo
>MOS.
>===============================================
MN*MS = (MO)^2-(AO)^2=3R^2
2MN^2=3R^2, ou seja, MN = NS = R*sqrt(3/2)

A área procurada é igual ao dobro da área do triângulo NOS (porque N é pto médio de MS) cujos lados são R, R e R*sqrt(3/2). A altura relativa ao lado que mede R*sqrt(3/2) pode ser facilmente achada usando o Teorema de Pitágoras:
h^2 = R^2 - 3/2*(R/2)^2
h^2=(8R^2) - 3R^2)/8
h=sqrt(5/2)*R/2

A área procurada,salvo erro de contas..)
será:sqrt(15)/4 * R^2




>
>===============================================
>Considere o cubo de bases ABCD e EFGH, e arestas
>AE, 
>BF, CG e DH. Sejam as arestas iguais a 3m e os
>pontos 
>M, N e P marcados de forma que: 
>
>M ΠAD, tal que AM = 2m 
>N ΠAB, tal que AN = 2m, e 
>P ΠBF, tal que BP = 0,5m. 
>
>Calcule o perímetro da seção que o plano MNP
>determina 
>no cubo. 
>obs: Œ -> lê-se 'pertence' 
>===============================================
Acho que sem figura vai ser meio esquisito de perceber .. mas vamos lá:
Considere o tetraedro P-BNM (P = vértice e base BMN)
BP é perpendicular ao plano da face ABCD do cubo.
PB =0,5, BM = 1, usando pitagoras, PM = sqrt(1,25)= 0,5sqrt(5)
Alem disso, MA é perpendicular a NA, e MA = 2, NA = 2 portanto MN = 2sqrt(2).
Por último temos que BN = sqrt(5)e BP = 0,5, portanto PN = sqrt(5 - 0,25)= sqrt(4,75)

>
>Grato
>
>Mr. Crowley
> 
>

[]'s MP



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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