Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)

["Eder" <edalbuquerque@xxxxxxxxxx>]

Ih,desculpa,é que eu já vi uma resolução para essa questão 
(acho que no matemática elementar...) e está como a sua,as 
diferenças são verificadas para tentar se notar alguma 
regularidade,aí achei que se estivesse fazendo uma 
suposição...


> Eder, voce nao pode sair supondo que tan
(B+C), etc estao em P.A pois e
> justamente o que voce tem que provar. 
> 
>  
> 
>  
> 
> I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em 
> 
> P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e 
> 
> tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. 
> 
>  
> 
>  
> 
> Resolucao: 
> 
>  
> 
> Seja (sin(2A),sin(2B),sin
(2C)) uma P.A de razao r, r<>0,  portanto, podemos
> escrever
> 
>  
> 
> Sin(2B) - sin(2A) = r = 2cos(A+B).sin(B-A)          (1)
> 
> Sin(2C) - sin(2B) = r = 2cos(C+B).sin(C-B)          (2)
> 
> Sin(2C) - sin(2A) = 2r = 2cos(C+A).sin(C-A)        (3)
> 
>  
> 
> Vamos calcular as diferentas tan(A+B)-tan(C+A), tan(C+A)-tan
(B+C) e
> tan(A+B)-tan(B+C) e ver o que elas representam:
> 
>  
> 
> *) tan(C+A)-tan(B+C) = (sin(C+A)/cos(C+A)) – (sin(B+C)/cos
(B+C)) .. Isolando
> cos(C+A) em (3) e cos(B+C) em (2) obtemos,
> 
>  
> 
>                                  = sin(C+A).sin(C-A)/r –
> (2.sin(B+C).sin(B-C))/r  , use o fato de
> cos(p)-cos(q)=-2.sin((p+q)/2).sin((p-
q)/2), logo, simplificando chegamos ao
> resultado,
> 
>  
> 
>                                  = (cos(2A)+cos(2C)-2cos
(2B))/2r  = K. 
> 
>  
> 
> *) tan(A+B)-tan(C+A) = (sin(A+B)/cos(A+B))-(sin(C+A)/cos
(C+A)). Isolando as
> expressoes de cos(A+B) e cos
(A+C) em 1 e 3, respectivamente, obtemos,
> 
>  
> 
>                                 = (2.sin(A+B).sin(B-A))/r –
> (sin(C+A).sin(C-A))/r. Usando a formula de cos(p)-cos
(q) do item (*) temos
> 
>  
> 
>                                 = (cos(2A)-cos(2B))/r – (cos
(2A)-cos(2C))/2r
> 
> 
>  
> 
>                                 = (cos(2A)+cos(2C)-2cos
(2B))/2r  = K.
> 
>  
> 
> Analogamente, calcule agora tan(A+B)-tan
(B+C) e voce vai ver que encontrara
> 
>  
> 
>                                     tan(A+B)-tan(B+C) = 2K.
> 
>  
> 
>  
> 
> Logo, tan(B+C),tan(C+A) e tan(A+B) estao em PA de razao
> K=[cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))]/2r , com r<>0. 
> 
>                                     
> 
>  
> 
>  
> 
>  
> 
> Leandro L. Recova
> 
>  
> 
> 

 
---
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis! 
http://antipopup.uol.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================