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Oi, Alexandre:
Tentei responder às suas indagações, que aliás são bem interessantes e
pertinentes.
Em analítica a média aritmética entre a e b = [a+b]/2
*** Sim, é o ponto médio do segmento ab.
O baricentro do triangulo ABC = [a+b+c]/3 o baricentro do tetraedro ABCD=[a+b+c+d]/4 (no r3) *** Sim e sim.
O baricentro de um tetraedro não regular seria [a+b+c+d]/4 também? *** Sim. Tome um dos vértices de um tetraedro regular ABCD (digamos A) como
sendo a origem do seu sistema de coordenadas.
Um tetraedro qualquer pode ser obtido de ABCD por meio de uma transformação
linear T, que leva os pontos A, B, C e D em T(A) (= A => lembre-se de
que A é a origem), T(B), T(C) e T(D), respectivamente. Seja M o baricentro do
tetraedro regular inicial. Então, T(M) será o baricentro do
tetraedro resultante. Mas M = (A+B+C+D)/4 e T é linear ==>
T(M) = T((A+B+C+D)/4) = (T(A)+T(B)+T(C)+T(D))/4.
e o baricentro de uma pirâmide de base quadrada seria [a+b+c+d+e]/5 ? *** Não. O baricentro de qualquer pirâmide fica a uma distância da base
igual a 1/4 da altura da pirâmide.
A melhor forma de ver isso é considerar uma pirâmide cuja base é um n-gono
regular pertencente ao plano xy.
Prosseguindo na sua analogia, o baricentro seria o ponto:
(a_1+a_2+...+a_n+v)/(n+1) (v = vértice da pirâmide)
Mas os vértices a_1, ..., a_n têm todos coordenada z = 0.
Assim, a coordenada z do baricentro seria igual a v/(n+1), que tende a zero
quando n tende a infinito (caso em que teríamos um cone circular).
Mas o baricentro de um cone circular fica a uma distância da base igual a
1/4 da altura desse cone (e não no plano da base, como indica a sua
analogia).
e o baricentro de um cubo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8? *** Sim. É o centro geométrico do cubo.
e o baricentro de um paralelepípedo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8 também? *** Sim. Um paralelepípedo é imagem de um cubo por alguma transformação
linear.
Um abraço,
Claudio.
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