[obm-l] =?iso-8859-15?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Equa=E7=E3o?=

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

> Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas
> incôgnitas.
>
> Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo:
>
> XY = X + Y
>
> Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação.
>
> Teria como ter uma saída algébrica?
>
> Agradeço
>

   Olá,

   X(Y-1) = Y
   Como Y não pode valer 1, (Y-1) nunca vale zero. Então,
   X = Y/(Y-1)

   X inteiro <=> Y/(Y-1) = N/1 para algum N inteiro <=> mdc(Y,Y-1) = (Y-1)
   Ou seja, Y deve ser múltiplo de (Y-1). Isto só occorre quando Y é 
pequeno...

   Por exemplo, se Y = 0 => (Y-1) = -1 e (-1).0 = 0
   Vamos supor Y > 0.
   Para ver que isto não ocorre quando Y fica suficientemente grande, olhe 
para a diferença entre
   2*(Y-1) e Y
   2*(Y-1) - Y = 2*Y - 2 - Y = Y - 2
   Y - 2 > 0 <=> Y > 2
   Logo, se Y > 2, 2*(Y-1) é maior que Y. Também é óbvio que Y-1 < Y. Logo 
Y não é múltiplo de (Y-1) => X não é inteiro.
   Sabemos que Y não pode ser 1, e que Y = 0 satisfaz a equação. Falta 
apenas checar os valores  negativos de Y. O caso Y = 2 também vale pois 
2*1 = 2.

   Y < 0 => (Y-1) < 0 => X, caso seja inteiro, é positivo. Logo teríamos 
uma solução (X,Y) onde X é positivo e Y é negativo. Mas, como a equação é 
simétrica com relação à troca de X por Y, (Y,X) também seria solução. Mas 
esta teria o segundo termo positivo, logo deveria aparecer na nossa 
análise anterior. É uma pena que as únicas soluções encontradas foram 
(0,0) e (2,2), pois isto significa que não há solução onde os sinais das 
variáveis sejam diferentes.
   Se isto não foi satisfatório, suponha Y < 0. Então Y-1 < -1 => -1*(Y-1) 
- Y = -Y + 1 - Y =
   = - 2Y + 1 > 0
   Ou seja, Y-1 < Y e -1*(Y-1) > Y. Logo X não é inteiro.
   As únicas soluções inteiras são as que você apresentou :)

   OBS : Acredito que esta equação é dita de grau 2 devido ao termo XY.

-- 
[]s
Felipe Pina
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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