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II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação :
sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 0 (1)
Resposta:
Sejam A,B,C os angulos internos de um triangulo, entao, podemos expressar A como:
A = pi – (B+C). Fazendo essa substituicao na equacao (1), temos
sin(3pi-3(B+C)) + sin 3B + sin 3C = 0
sin(3(B+C)) + sin(3B) + sin 3C = 0
Usando a relacao sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) onde a=3B e b=3C obtemos
sin(3(B+C)) + 2.sin(3(B+C)/2).cos(3(B-C)/2)=0
Usando o fato de que sin(2a) =2.sin(a).cos(a) para a=(3(B+C)) obtemos para o 1º termo da ultima equacao
2.sin(3(B+C)/2).cos(3(B+C)/2) + 2.sin(3(B+C)/2).cos(3(B-C)/2)
= 0 2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + cos(3(B-C)/2)] = 0
Finalmente, usando a identidade cos(p) + cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 obtemos
4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 0 ou ainda
sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C)=0.
Analisando essa equacao, podemos ter as seguintes posibilidades:
Sin(3(B+C)/2) = 0 ou cos(3B)=0 ou cos(3C)=0 ;
(1) sin(3(B+C)/2) = 0 => 3(B+C)/2 = k.pi, para k inteiro.
B+C=2kpi/3 porem, B+C = pi – A, logo, A = pi – 2.kpi/3 . Como A < pi entao a solucao e valida para k=1, logo A=60º .
O caso cos(3B)=0 e cos(3C)=0 sao analogos, por isso, analisaremos somente um deles.
(2) cos(3B) = 0. Nesse caso, lembrando da relacao fundamental da trigonometria teriamos sin(3B)=1. Ou seja, na equacao original teriamos sin(3A)+ 1 + sin(3C)=0. Ou ainda, teriamos que ter sin(3A)+sin(3C)=-1, o que nao seria possivel no caso de A e C serem angulos internos de um triangulo. Portanto, cos(3B) tem que ser diferente de zero. Analogamente, cos(3C) tem que ser diferente de zero.
Regards,
Leandro L. Recova
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